sinc函数的积分

最新推荐文章于 2024-11-16 05:30:00 发布

可可萝

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分类专栏：数学文章标签： sinc函数积分

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博客主要围绕sinc函数的积分求解展开，给出积分式I=∫−∞+∞xsin(x)dx，通过一系列变换，如利用∫0+∞e−xtdt=x1，再经分部积分等步骤，最终得出积分结果为π。

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                    求sinc函数的积分：

I=∫−∞+∞sin(x)xdx
I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x}dx
I=∫−∞+∞​xsin(x)​dx
解法如下：

易知有∫0+∞e−xtdt=1x
易知有\int_{0}^{+\infty}e^{-xt}dt=\frac{1}{x}\\
易知有∫0+∞​e−xtdt=x1​

I=∫−∞+∞sin(x)xdx=2∫0+∞sin(x)xdx=2∫0+∞sin(x)(∫0+∞e−xtdt)dx=2∫0+∞[∫0+∞sin(x)e−xtdx]dt=2∫0+∞11+t2dt              (此步可由分部积分得到)=π
\begin{aligned}
I&amp;=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x}dx\\
&amp;=2\int_{0}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x}dx\\
&amp;=2\int_{0}^{+\infty}sin(x)(\int_{0}^{+\infty}e^{-xt}dt)dx\\
&amp;=2\int_{0}^{+\infty}[\int_{0}^{+\infty}sin(x)e^{-xt}dx]dt\\
&amp;=2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+t^2}dt~~~~~~~~~~~~~~(此步可由分部积分得到)\\
&amp;=\pi
\end{aligned}
I​=∫−∞+∞​xsin(x)​dx=2∫0+∞​xsin(x)​dx=2∫0+∞​sin(x)(∫0+∞​e−xtdt)dx=2∫0+∞​[∫0+∞​sin(x)e−xtdx]dt=2∫0+∞​1+t21​dt              (此步可由分部积分得到)=π​



                