信号的重建

信号的重建

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1、原理

完成了时间轴的离散和幅值轴的量化后，这个问题貌似已经解决，但在实践过程中就会发现，即使按照信号采样定理完成信号的采样，信号显示的结果也可能会与原始信号相差甚远。这是为什么？有无办法改善这种巨大差异？当然，差异是可以改善的，否则采样定理就没用了，秘籍就是下面不算太复杂的公式。

x(t)=∑n=−∞+∞x(nΔ)sin((t−nΔ)1Δ)(t−nΔ)1Δx(t)=∑n=−∞+∞x(nΔ)sin((t−nΔ)1Δ)(t−nΔ)1Δ

上式中的tt是连续的量，将个采样点的离散值与连续量相乘就可重建原来的信号。 
但由于计算机中只有离散和有限长的量，所以我们还要用间隔更小的时间离散量ykyk来代替连续时间量tt，要注意的是上式中xnxn是离散的量，而ykyk则是时间间隔更小的离散量，这个公式完成的运算就是从向量x⃗ x→转换到向量y⃗ y→，如何完成这样的转换呢？这就需要一个矩阵帮助实现这种变换，可以讨论一下矩阵的构造方法。

• 蛮力 
  在每个xkxk对应时间点都计算相应sincsinc值，费时费力
• 巧劲 不走重复路 
  只是计算一次，剩下的从第一次计算的值出发，延伸导出。

2、CSignal添加信号重构行为 蛮力方法

1. function ReConstruct(sig)
2. vec = sig.m_vec;
3. dFs = sig.m_dFs;
4. tStart = sig.m_tStart;
6. deltaT = 1/dFs;
7. dReFs = sig.m_dFs*50;
8. t = tStart + (0:length(vec)-1)*deltaT;
9. tRec = tStart:1/dReFs:((length(vec)-1)*deltaT);
10. vecRec = zeros(1,length(tRec));
11. figure(3)
12. for ind = 0:length(vec)-1
13. vecRecTmp = sinc((tRec - ind*deltaT)/deltaT);
14. vecRec = vecRec + vec(ind+1)*vecRecTmp;
15. plot(tRec, vecRec)
16. pause;
17. end
18. figure(2)
19. plot(t,vec, 'r:', tRec,vecRec, 'k-', 'linewidth', 2)
20. xlabel('Time s','fontsize', 14)
21. ylabel('Amplitude','fontsize', 14)
22. set(gca, 'fontsize', 14)
23. legend('²ÉÑù','Öع¹')
24. end

3、script程序 使用类

1. % sigProcess01.m
2. % signal process exercise
4. close all;
5. clc;
7. dFreq = 0.5;
8. dFs = 2.2*dFreq;
9. tStart = 0;
10. t = tStart:1/dFs:10;
11. vec = cos(2*pi*dFreq*t);
12. sig = CSignal(vec, dFs, tStart);
13. sig.ReConstruct;

4、新的成员函数

1. function [vecTRecnt, vecSigRecnt] = ReconstructSig(varargin)
2. if nargin == 1
3. obj = varargin{1};
4. nMultpRecnt = 10;
5. else
6. obj = varargin{1};
7. nMultpRecnt = varargin{2};
8. end
9. dFsRecnt = obj.m_dFs*nMultpRecnt;
10. vecTRecnt = 0:1/dFsRecnt:obj.m_dTime;% for calculate xtSinc
11. xtSinc = sinc(obj.m_dFs*vecTRecnt);
12. vecSigRecnt = zeros(1, length(vecTRecnt));
13. vecSig = obj.m_vecSig;
14. for ind = 1:length(obj.m_vecSig)
15. % calculate sinc only once
16. if ind == 1
17. vecSigRecntTmp = xtSinc;
18. else
19. indexXtSincPre = ((ind-1)*nMultpRecnt+1):-1:2;
20. indexXtSincPost = 1:(length(xtSinc)-(ind-1)*nMultpRecnt);
21. vecSigRecntTmp = [xtSinc(indexXtSincPre) xtSinc(indexXtSincPost)];
22. end
23. % % calculate sinc every loop
24. % vecSigRecntTmp = sinc(dFs*vecTRecnt - ind + 1);
26. vecSigRecnt = vecSigRecnt + vecSig(ind)*vecSigRecntTmp;
27. end
28. % correspond to the time vector of signal
29. vecTRecnt = obj.m_dTimeStart*ones(1,length(vecTRecnt)) + vecTRecnt;
31. vecOrig = obj.m_vecSig;
32. t_orig = (0:length(vecOrig)-1)/obj.m_dFs;
34. figure;
35. plot(vecTRecnt, vecSigRecnt, t_orig, vecOrig, 'linewidth',2)
36. xlabel('时间 S')
37. ylabel('信号')
38. legend('插值后','未插值')
39. end

5、新的SCRIPT程序

1. % Exer_SigProcess_xcript.m
2. close all;
4. strCurrentPath = cd;
5. addpath([strCurrentPath '\classdef']);
7. vecAmp=[1 3 5];
8. vecFreq = [1 2 3];
9. vecPhi = [0 pi/3 pi/4];
11. Fs = 4.3;
12. t = 0:1/Fs:2*pi;
13. xt = 0;
14. for ind = 1:1
15. xt = xt + vecAmp(ind)*cos(2*pi*vecFreq(ind)*t + vecPhi(ind));
16. end
17. sig = CSignal(Fs, xt);
18. sig.DispSigCurve;
20. [vecTRecnt, vecSigRecnt] = sig.ReconstructSig(20);
22. rmpath([strCurrentPath '\classdef']);

程序运行结果