排成一条线的纸牌博弈问题

题目】

　　给定一个整型数组arr，代表数值不同的纸牌排成一条线。玩家A和玩家B依次拿走每张纸牌，规定玩家A先拿，玩家B后拿，但是每个玩家每次只能拿走最左边或者最右边的一张牌，最后所拿牌累加和最大的玩家获胜，玩家A和玩家B都绝顶聪明。请返回最后获胜者的分数。

【举例】

　　arr = [1, 2, 100, 4] 
　　玩家A先拿1，玩家B拿4，玩家A再拿100，玩家B再拿2，游戏结束，玩家A获胜，分数为101。

【基本思路】

　　首先分析暴力递归的方法。定义递归函数f(i, j)表示如果arr[i…j]这个排列上的纸牌被绝顶聪明的人先拿，最终会获得什么分数。定义递归函数s(i, j)，表示如果arr[i…j]这个排列上的纸牌被绝顶聪明的人后拿，最终能获得什么分数。

首先分析f(i, j)，具体过程如下：

如果i == j，表示此时只有一张牌，当然会被先拿牌的人拿走，所以返回arr[i]即可。

如果i != j，那么此时有两种选择，一种是先拿arr[i]，一种是先拿arr[j]。如果先拿走arr[i]，那么对于剩下的arr[i+1…j]，玩家成了后拿牌的人，所以他能获得的分数为arr[i] + s(i+1, j)；同理如果先拿arr[j]，那么他能获得的分数为arr[j] + s(i, j-1)。因为玩家是决定聪明的人，所以他会选择两个决策中最优的，即max(arr[i] + s(i+1, j), arr[j] + s(i, j-1))。

接下来分析s(i, j)，具体过程如下：

如果i == j，表明此时只有一张牌，对于后拿牌的人来说，他肯定拿不上，说以返回 0。

如果i != j，那么此时玩家的拿牌方式其实受到对手的影响，如果对手选择的是arr[i]那么给玩家留下的就是arr[i+1…j]，对于排列arr[i+1…j]玩家成了先拿牌的人，所以他能得到的分数为f(i+1, j)。同理，如果对手选择的是arr[j]那么给玩家留下的就是arr[i…j-1]，对于排列arr[i…j-1]玩家成了先拿牌的人，所以他能得到的分数为f(i, j-1)。因为对手也是绝顶聪明的，所以留给玩家的一定是最坏的情况，所以玩家只能选择两个决策中最差的，即max(f(i+1, j), f(i, j-1))
 

def win1(L):

    """暴力递归"""

    if L == None or len(L) == 0:
        return 0

    return max(f(L,0,len(L)-1),s(L,0,len(L)-1))


    def f(L,i,j):

        if i==j:
            return L[i]

        return max(L[i]+f(L,i+1,j),L[j] + f(L,i,j-1))

    def s(L,i,j):

       if i==j:
           return 0

        return min(f(L,i+1,j),f(L,i,j+1))



def win2(L):

    if L == None or len(L) == 0:
        return 0

    f = [[0]*len(L)] * len(L)
    s = [[0]*len(L)] * len(L)
    
    for j in range(1,len(L)):
        f[j][j] = L[j]
        for i in range(j-1,0,-1):
            f[i][j] = max(L[i]+s[i+1][j],L[j]+s[i][j-1])
            s[i][j] = min(f[i+1][j],f[i][j-1])

        return max(f[0][len(L)-1],s[0][len(L)-1])