高精度运算模板(大数运算)

最新推荐文章于 2023-02-10 20:02:08 发布

Tao_oc

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CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：数论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_41183791/article/details/81913150

这篇博客详细介绍了高精度运算的各种操作，包括加法、减法、乘法（包括朴素算法和FFT优化）、除法、取模、阶乘、幂运算、GCD、进制转换以及平方根的计算。每种运算都阐述了算法思想和复杂度分析。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

转载于:https://blog.youkuaiyun.com/u013615904/article/details/43373601

在这里，我们约定，能用int表示的数据视为单精度，否则为高精度。所有函数的设计均采用带返回值的形式。

本文包含

1.高精度加法

2.高精度减法

3.高精度乘法

1）高精度乘高精度的朴素算法

2）高精度乘高精度FFT优化算法

3）高精度乘单精度

4.高精度除法

1）高精度除高精度

2）高精度除单精度

5.高精度取模

1）高精度对高精度取模

2）高精度对单精度取模

6.高精度阶乘

7.高精度幂

8.高精度GCD

9.高精度进制转换

10.高精度求平方根

下面切入正题

1.高精度加法

传入参数约定：传入参数均为string类型，返回值为string类型

算法思想：倒置相加再还原。

算法复杂度：o(n)

#include<bits/stdc++.h>
#define L 200005
using namespace std;
string add(string a,string b)//只限两个非负整数相加
{
    string ans;
    int na[L]={0},nb[L]={0};
    int la=a.size(),lb=b.size();
    for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
    for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
    int lmax=la>lb?la:lb;
    for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;
    if(na[lmax]) lmax++;
    for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
    return ans;
}
int main()
{
    string a,b;
    while(cin>>a>>b) cout<<add(a,b)<<endl;
    return 0;
}

2.高精度减法

传入参数约定：传入参数均为string类型，返回值为string类型

算法思想：倒置相减再还原。

算法复杂度：o(n)

#include<bits/stdc++.h>
#define L 200005
using namespace std;
string sub(string a,string b)//只限大的非负整数减小的非负整数
{
    string ans;
    int na[L]={0},nb[L]={0};
    int la=a.size(),lb=b.size();
    for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
    for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
    int lmax=la>lb?la:lb;
    for(int i=0;i<lmax;i++)
    {
        na[i]-=nb[i];
        if(na[i]<0) na[i]+=10,na[i+1]--;
    }
    while(!na[--lmax]&&lmax>0)  ;lmax++;
    for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
    return ans;
}
int main()
{
    string a,b;
    while(cin>>a>>b) cout<<sub(a,b)<<endl;
    return 0;
}

3.高精度乘法

1）高精度乘高精度的朴素算法

传入参数约定：传入参数均为string类型，返回值为string类型

算法思想：倒置相乘，然后统一处理进位，再还原。

算法复杂度：o(n^2)

#include<bits/stdc++.h>
#define L 200005
using namespace std;
string mul(string a,string b)//高精度乘法a,b,均为非负整数
{
    string s;
    int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积
    fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0
    for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数
    for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';
    for(int i=1;i<=La;i++)
        for(int j=1;j<=Lb;j++)
        nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位）
    for(int i=1;i<=La+Lb;i++)
        nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位
    if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0
    for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)
        s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串
    return s;
}
int main()
{
    string a,b;
    while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl;
    return 0;
}

2）高精度乘高精度FFT优化算法

传入参数约定：传入参数均为string类型，返回值为string类型

算法思想：将两个高精度乘数每个数位上的数视为多项式对应的系数，用o(n*log(n))的复杂度转成点值形式，再利用o(n)的复杂度相乘，最后对点值进行差值，用o(n*log(n))的复杂度还原成多项式的形式，即原来的形式。

算法复杂度：o(n*log(n))

#include<bits/stdc++.h>
#define L 200005
using namespace std;
#define L(x) (1 << (x))
const double PI = acos(-1.0);
const int Maxn = 133015;
double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];
char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2];
int sum[Maxn];
int x1[Maxn],x2[Maxn];
int revv(int x, int bits)
{
    int ret = 0;
    for (int i = 0; i < bits; i++)
    {
        ret <<= 1;
        ret |= x & 1;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
}
void fft(double * a, double * b, int n, bool rev)
{
    int bits = 0;
    while (1 << bits < n) ++bits;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int j = revv(i, bits);
        if (i < j)
            swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);
    }
    for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)
    {
        int half = len >> 1;
        double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);
        if (rev) wmy = -wmy;
        for (int i = 0; i < n; i += len)
        {
            double wx = 1, wy = 0;
            for (int j = 0; j < half; j++)
            {
                double cx = a[i + j], cy = b[i + j];
                double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];
                double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;
                a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;
                a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;
                double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx