算法竞赛入门经典--训练指南之分金币

圆桌旁坐着n个人，每人有一定数量的金币，金币总能被n整除。每个人可以给他左右相邻的人一些金币，最终使得每个人的金币数目相等。你的任务是求出被转手的金币数量的最小值。比如，n=4,且4个人的金币数量分别为1，2，5，4时，只需转移4枚金币（第3个人给第二个人两枚金币，第二个人和第四个人分别给第一个人1枚金币）即可实现每人手中的金币数目相等。

输入格式：

#include<stdio.h>
#include<math.h>

void sort(__int64 *a,__int64 I){
	int val,i,j;
	for(i=0;i<I-1;i++)
	for(j=i+1;j<I;j++){
		if(a[i]<a[j]){
			val=a[i];
			a[i]=a[j];
			a[j]=val;
		}
	}
}

int main(){
	__int64 n;
	while(scanf("%I64d\n",&n) == 1){
		__int64 i,a[n],sum=0;
		for(i=n;i>0;i--)//输入 
	{
		scanf("%I64d\n",&a[i]);
		sum+=a[i];
	}
	__int64 avg=sum/n,c[n];
	c[0]=0;
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		c[i]=c[i-1]+a[i]-avg;
	}
	sort(c,n);
	__int64 medium=c[n/2],ans=0;
	for(i=0;i<n;i++){
		ans+=abs(medium-c[i]);
	}
	printf("%I64d\n",ans);
	}
	return 0;
}

输入包含多组数据。每组数据第一行为整数n（n<=1000000),以下n行每行为一个整数，按逆时针顺序给出每个人拥有的金币数。输入结束标志为文件结束符（EOF）

输出格式：

对于每组数据，输出被转手金币数量的最小值。输入保证这个值在六十四位无符号整数范围内。

分析：

这道题目看起来很复杂，让我们慢慢分析。首先，最终每个人的金币数量可以计算出来，它等于金币总数除以人数n。接下来我们用avg来表示每人最终拥有的金币数。

假设有四个人，按顺序编号为1，2，3，4.假设1号给2号3枚金币，然后2号又给1号5枚金币。这等价于2号给1号2枚金币，而1号什么也没给2号。这样可以设置x2表示2号给了1号多少个金币。如果x2<0,说明实际上是1号给了2号-x2枚金币。x1,x3和x4的含义类似。注意，由于是环形，x1指的是1号给4号多少金币。

现在假设编号为i的人初始有ai枚金币。对于1号来说，他给了4号x1枚金币，还剩ai-x1枚金币；但因为2号给了他x2枚金币，所以最后还剩ai-x1+x2枚金币。根据题设，该金币数等于avg。

同理，对于第二个人，有a2-x2+x3=avg.最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，是不是可以直接解方程组了呢？很可惜，还不行。因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程。所以，实际上只有n-1个方程是有用的。

尽管无法直接解出答案，我们还是可以尝试着用x1表示出其他的xi，则本题就变成了单变量的极值问题。

对于第一个人，a1-x1+x2=avg->x2=avg-a1+x1=x1-c1

对于第二个人，a2-x2+x3=avg->x3=avg-a2+x2=avg-a2+age-a1+x1=x1-c2

......

我们希望所有xi的绝对值之和尽量小，即|x1|+|x1-c1|+|x1-c2|+...+|x1-cn-1|要最小。注意到|x1-ci|的几何意义是数轴上点x1到ci的距离。所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点。

该点便是中位数

证明：

给定数轴上的n个点，在数轴的所有点中，中位数离所有顶点的距离之和最小。凡是能转化为这个模型的题目都可以用中位数求解，并不只适用于本题。

任意找一个点，假设它左边有四个输入点，右边有两个输入点。把它往左移动一点，不要移的太多，以免碰到输入点，假设移动了d单位距离，则该点左边4个点到它的距离各减少了d，右边的两个点到它的距离各增加了d。但总的来说，距离之和减少了2d。

如果该点左边有两个点，右边有四个点，道理类似，不过应该向右移动。换句话说，只要该点左右的输入点不一样多，就不是最优解。什么情况下左右的输入点一样多呢？如果输入点一共有奇数个，则该点必须与中间的那个点重合（中位数）；如果有偶数个，则该点可以位于最中间的两个点之间的任意位置（还是中位数）