鱼塘捕捞周期效益分析

最新推荐文章于 2025-08-15 16:37:04 发布

Aerozeor

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分类专栏：算法数学文章标签：生物数学建模

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该博客围绕鱼塘展开数学建模。先基于logistic模型计算鱼数量，给出原函数，还介绍用龙格库塔法模拟。接着分析鱼的收益，考虑经营与捕捞成本，以平均收益衡量，研究何时捕鱼及捕多少，通过函数求导找零点确定使收益最大的捕捞周期和捕捞量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.鱼的数量

假设鱼群按照logistic模型有
$f(t,N)=dNdt=r∗N∗(1−N/K)f(t,N)=\frac{dN}{dt}=r*N*(1-N/K)$
其中N表示鱼数量（或密度），t表示时间，这里假设月为单位，r表示固定增长率，K表示环境容纳量,显然，r,K为常数
在这里我假设 $r = 0.1, K = 1940$ （K的单位是吨）
按照数学方法
可以得到原函数
$F(t)=N=K1+e−rt−C,其中C=ln(N0K−N0),N0为0时刻的数量F(t)=N=\frac{K}{1+e^{-rt-C}},其中C=ln(\frac{N_0}{K-N_0}),N_0为0时刻的数量$
于是可以定义
$f (t) = f (t, F (t))$

额外内容：龙格库塔法

计算机模拟的时候为了通用性，可以用另外一种龙格库塔法来模拟F
$F(t)=RK(f_F,x_0,y_0,h,N_h)$
龙格库塔法要求5个参数，f是一阶微分函数式，即 $y = F (x)$ , $dFdx=fF(x,y)\frac{dF}{dx}=f_F(x,y)$ , $x_0$ , $y_0$ 为初始点坐标，h为迭代步长， $N_h$ 为迭代次数，它返回最后迭代后的函数值，即 $F(x_0+h*N_h)$ 的值
所以这里我们取 $fF=f,x0=0,y0=N0,h=0.01,Nh=thf_F=f,x_0=0,y_0=N_0,h=0.01,N_h=\frac{t}{h}$

2.鱼的收益

对于一个鱼塘有经营成本和捕捞成本。
假设每吨鱼收益为 $E_0=3.2$ 万，每年经营成本900万,则每月经营成本 $C_m=900/12$ ，一次捕捞成本 $C_{c}=100$ 万，
我们设 $N_c$ 为捕捞量， $t_c$ 为捕捞间隔，单位月
一次捕捞收益 $S=E_0*N_c-C_c-C_m*t_c$
但是我们不是研究一次捕捞的，而是研究多次捕捞，所以我们应该以平均收益来衡量,使得平均收益最大
平均收益 $S‾=E0∗Nc−Cctc−Cm\overline S=\frac{E_0*N_c-C_c}{t_c}-C_m$

这里就有两个研究的问题

什么时候捕鱼

捕多少鱼

如果我们换种想法，其实有 ${tc=tb−taNc=F(tb)−F(ta)\begin{cases}t_c=t_b-t_a\\ N_c=F(t_b)-F(t_a)\end{cases}$
这个等式的含义事实上是把捕捞周期换成 $F (t)$ 上的自变量的间隔，把捕捞行为等价的表达为 $F (t)$ 曲线上的两点之间的“跳跃”行为。
即 ${tb⟶捕捞taF(tb)⟶捕捞F(ta)\begin{cases}t_b \overset{捕捞} \longrightarrow t_a\\ F(t_b) \overset{捕捞} \longrightarrow F(t_a)\end{cases}$
反过来在休渔期 $t_c$ 里 ${ta⟶休渔期tbF(ta)⟶休渔期F(tb)\begin{cases}t_a \overset{休渔期} \longrightarrow t_b\\ F(t_a) \overset{休渔期} \longrightarrow F(t_b)\end{cases}$
于是有
$S‾=E0∗(F(tb)−F(ta))−Cctb−ta−Cm\overline S=\frac{E_0*(F(t_b)-F(t_a))-C_c}{t_b-t_a}-C_m$
对于这个函数，我们可以发现性质 $t_a<t_b$ 。为了计算机能够容易的编程，所以不采用二元导数的形式，可以先把 $t_a$ 看作常数，有 $S‾(t,ta)=E0∗(F(t)−F(ta))−Cct−ta−Cm,t∈(ta,∞)\overline S(t,t_a)=\frac{E_0*(F(t)-F(t_a))-C_c}{t-t_a}-C_m,t \in (t_a,\infty)$
它的导数是这样子的
$S‾’(t,ta)=∂S‾∂t=E0∗f(t)t−ta−E0∗(F(t)−F(ta))−Cc(t−ta)2,t∈(ta,∞)\overline S’(t,t_a)=\frac{\partial \overline S}{\partial t}=\frac{E_0*f(t)}{t-t_a}-\frac{E_0*(F(t)-F(t_a))-C_c}{(t-t_a)^2},t \in (t_a,\infty)$
它的定义域内只有一个零点，只要求出零点就可以得到 $S‾\overline S$ 的最大值
设求零点的函数为
$x_z=Zero(F,x_0,x_1)$
其中F为 $y = F (x)$ ，这里的 $x_0$ , $x_1$ 依据不同的方法会有不同的用途。如果是二分法的话就是区间的端点，如果是牛顿法的话就是迭代的前两项
为了方便，我将其定义为 $x_z=Zero(F)$
$x_0$ , $x_1$ 根据实际情况定
于是设
$tb=Zero(S‾’(t,ta))t_b=Zero(\overline S’(t,t_a))$
在 $Z e r o ()$ 函数内是关于 $t$ 的一个函数，但是在加上 $Z e r o ()$ 后是一个关于 $t_a$ 的一个函数
定义 $t_{amax}$ 是使 $S‾(tb)\overline S(t_b)$ 最大的 $t_a$ 值， $t_{bmax}$ 是 $t_a=t_{amax}$ 时 $t_b$ 的值.
即 $tbmax=Zero(S‾’(t,tamax))t_{bmax}=Zero(\overline S’(t,t_{amax}))$
则 ${tcmax=tbmax−tamaxNcmax=F(tbmax)−F(tamax)\begin{cases}t_{cmax}=t_{bmax}-t_{amax}\\ N_{cmax}=F(t_{bmax})-F(t_{amax})\end{cases}$
就是使S收益最大的一个捕捞周期 $t_{cmax}$ 和捕捞量 $N_{cmax}$ ,捕捞点 $t_{bmax}$