《Ray Tracing in One Weekend》阅读笔记 - 4、在场景中添加球体

4、在场景中添加球体（选择球体是因为比较好计算射线与球体是否相交）
（1）射线与球求交在三维空间中，圆心在坐标中心且半径为R的球的方程式为：

对于点（x, y, z），如果它在球上，则有：

如果它在球内，则有：

如果它在球外，则有：

如果圆心不在原点，而在点(Cx, Cy, Cz)，则球的方程将变成：

为了能用vec3类表示这个方程，我们引入向量P= ( x, y, z) 和C = (Cx, Cy, Cz)，则上面的方程可以表示为以下的向量形式：

我们可以理解为“任何满足上面这个式子的点P都在该球面上”。对于我们的射线P(t) = A + tb，判断射线是否与球有交点，即判断是否有一个t使得P(t)满足上面的方程。将P(t)代入球面方程，有：

将P(t)的完整形式代入式子：

将式子展开并移到一侧，有：

在上面的式子中，只有t是未知数，可以将上面的式子看成一个关于t的一元二次方程，用解一元二次方程的形式求解t：如果有2个根，则射线与球有两个交点；如果有一个根，则有一个交点；如果没有根，则射线与球不相交（注意，这里的A、C、b都是向量）。如下图所示：

在图形学中，代数几乎总是与几何直接相关。
（2）创建我们的第一个光线追踪图像
利用上面的公式，编写一个判断射线是否击中函数的函数 hit_sphere():

球心位于(0, 0, -1.0)，半径为0.5，将每个球上击中的像素涂成红色，硬编码到ray_color()中。

color ray_color(const ray& r) {
    if (hit_sphere(point3(0,0,-1), 0.5, r))
          return color(1, 0, 0);
    vec3 unit_direction = unit_vector(r.direction());
    auto t = 0.5*(unit_direction.y() + 1.0);
    return (1.0-t)*color(1.0, 1.0, 1.0) + t*color(0.5, 0.7, 1.0);
} 
//网站上的代码 Listing 10: [main.cc] Rendering a red sphere

我们将得到如下图片：

这里有一个问题，当我们测试射线是否与球相交时，t < 0（投向屏幕外的射线）同样有解，当z = +1时，我们同样可以得到上面的图案，即我们看到了我们后面的物体，这不符合现实，所以我们接下来将解决这个问题。