《大话数据结构》笔记第二章算法（下）

最新推荐文章于 2025-03-19 23:28:10 发布

weixin_40644324

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本文深入探讨了算法的渐近增长概念，介绍了如何通过大O记法评估算法的时间复杂度，并对比了不同算法间的效率差异。此外，还讲解了算法的空间复杂度计算方法，帮助读者更好地理解和优化算法。

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2.5 函数的渐近增长

给定两个函数 f(n) 和 g(n)，如果存在一个整数 N，使得对于所有的 n > N，f(n) 总大于 g(n)，那么我们说 f(n) 的增长渐近快于 g(n)。

例如，算法 A 要 2n+3 次操作，而算法 B 要 3n+1 次。随着 n 的增大，比较运行次数时，我们可以忽略加法常数。
再例如，算法 C 是 4n+8，而算法 D 要 2 $n^2$ +1。随 n 的增大，我们可以发现运行次数与最高项相乘的常数并不重要。
然后，例如，算法 E 是 2 $n^2$ +3n+1 算法 F 是 2 $n^3$ +3n+1。随 n 的增大，最高次项的指数大的，结果增长特别快。
最后一个例子，算法 G 是 2 $n^2$ ，算法 H 是 3n+1，算法 I 是 2 $n^2$ +3n+1。随着 n 的增大，H 算法会越来越少于 G 和 I 的次数，G 也会越来越趋近于 I 。于是得出结论判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。

2.6 算法时间复杂度

定义：

在进行算法分析时，语句总的执行次数 T(n) 是关于问题规模 n 的函数，进而分析 T(n) 随 n 的变化情况并确定 T(n) 的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模 n 的增大，算法执行时间的增长率和 f(n) 的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中 f(n) 是问题规模 n 的某个函数。

这样用大写 O( ) 来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大 O 记法。
一般情况下，随着 n 的增大，T(n) 增长最慢的算法为最优算法。

推导大 O 阶：
1. 用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。
2. 再修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则除去与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大 O 阶。

常数阶：循环的时间复杂度为O(1)。
注意：不管这个时间复杂度为多少，只要是常数，我们都记作 O(1)，而不能是 O(3)、O(12) 等其他任意数字。
线性阶：循环的时间复杂度为 O(n)。
对数阶：循环的时间复杂度为 O( $log_2n$ )。
平方阶：循环的时间复杂度为 O( $n^2$ )。

理解大 O推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察数学知识和能力。
看例子，对于帆帆发调用的时间复杂度如何分析。、

int i,j;
for (i = 0; i < n ; i++)
{
    function(i);    
}

void function(int count)
{
    int j;
    for(j = count; j < n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

这个例子最终的时间复杂度为 O( $n^2$ )。
再看下面这段相对复杂的语句：

n++;                       /* 执行次数为 1 */
function(n);               /* 执行次数为 n */
int i,j;
for(i = 0; i < n; i++)     /* 执行次数为 n^2 */
{
    function(i);
}
for(i = 0; i < n; i++)     /* 执行次数为 n(n+1)/2 */
{   
    for(j = i; j< n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}