轨迹设计中使用等角螺线连接两段弯道

在道路设计中，运用平滑的曲线连接两个方向不同的弯道，不仅能确保驾驶者的行驶安全，还能提高行车的舒适度。因此，如何设计这样的曲线显得尤为重要。我们需要考虑的是曲线的半径。半径的大小将直接影响行车的速度以及行车的稳定性。在高速路段，为了保持行车的流畅性和稳定性，通常会选择较大的曲线半径；而在低速或转弯较急的路段，则可以适当减小曲线半径。

---

等角螺线的数学性质与参数推导

等角螺线的定义与特性

等角螺线（Equiangular Spiral）是一种极坐标下具有自相似性的曲线，其数学表达式为：

$$r(\theta )=a\cdot e^{\theta \cdot \cot \alpha }$$

其中：

• $a$ 为初始半径参数
• $\alpha$ 为螺线与径向的恒定夹角
• $\theta$ 为极角

等角螺线的核心特性是曲率半径随角度指数变化，其曲率半径 $\rho (\theta )$ 可表示为：

$$\rho (\theta )=\frac{r(\theta )}{\sin \alpha }=\frac{a}{\sin \alpha }\cdot e^{\theta \cdot \cot \alpha }$$

这一特性使其能通过调整参数 $a$ 和 $\alpha$，平滑连接不同半径的圆弧段。

---

参数求解方法

假设需要连接两段圆弧，其半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$，螺线起始角为 ${\theta }_1$，终止角为 ${\theta }_2$。根据曲率半径公式可得方程组：

$$\{\begin{array}{l}{R}_1=\frac{a}{\sin \alpha }\cdot e^{{\theta }_1\cdot \cot \alpha }\\ R_2=\frac{a}{\sin \alpha }\cdot e^{{\theta }_2\cdot \cot \alpha }\end{array}$$

通过取比值消去参数 $a$：

$$\frac{R_2}{R_1}=e^{({\theta }_2-{\theta }_1)\cdot \cot \alpha }$$

对等式取自然对数后解得：

$$\alpha ={\cot }^{-1}\left(\frac{\ln (R_2/R_1)}{{\theta }_2-{\theta }_1}\right)$$

将 $\alpha$ 回代任一方程即可求得参数 $a$。此方法确保了螺线两端曲率半径与既有道路的曲率连续。

---

工程中的插值与参数优化

几何约束条件

实际工程中需满足以下约束：

1. 端点位置匹配：螺线起点 $P_1$、终点 $P_2$ 需与既有道路对齐
2. 切线方向连续：连接点处切线方向与原有道路一致
3. 曲率连续：曲率半径在连接点处无突变

通过坐标变换将螺线嵌入全局坐标系时，需引入旋转矩阵和平移向量，确保满足几何约束。

---

数值插值方法

当解析解难以直接应用时（例如已知直线段间距 $L$ 而非角度差 $\Delta \theta$），可采用数值优化方法：

1. 参数化螺线：将笛卡尔坐标表示为：
   $$\begin{gathered} x(\theta )=a\cdot e^{\theta \cot \alpha }\cos \theta \\ y(\theta )=a\cdot e^{\theta \cot \alpha }\sin \theta \end{gathered}$$

2. 建立目标函数：根据端点间距约束定义残差：
   $$\text{Residual}=\sqrt{[x({\theta }_2)-x({\theta }_1){]}^2+[y({\theta }_2)-y({\theta }_1){]}^2}-L$$

3. 迭代求解：使用牛顿-拉夫森法（Newton-Raphson）优化 $\alpha$ 和 ${\theta }_2$，直至残差收敛。

---

计算流程图解

---

与其他曲线的对比分析

曲线类型	曲率变化率	计算复杂度	适用场景
等角螺线	指数变化	中等	高速变径路段
回旋曲线	线性变化	低	一般缓和曲线
三次多项式	二次变化	高	低精度连接

等角螺线因其曲率过渡自然的特性，在高速公路互通立交等对舒适性要求高的场景中具有显著优势。

---

MATLAB参数计算核心代码

function [a, alpha] = calcSpiralParams(R1, R2, theta1, theta2)
    syms alpha_sym
    eqn = log(R2/R1) == (theta2 - theta1) * cot(alpha_sym);
    alpha = double(vpasolve(eqn, alpha_sym));
    a = R1 * sin(alpha) * exp(-theta1 * cot(alpha));
end