运用复合辛普森求二重积分（C语言实现）

最新推荐文章于 2022-10-08 15:42:24 发布

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#二重积分 #辛普森 #算法

这篇博客介绍了如何利用C语言实现复合辛普森法来求解函数的二重积分。作者首先解释了辛普森公式和复合辛普森公式的原理，然后详细阐述了如何将一重积分的复合辛普森公式扩展到二重积分，并给出了相应的误差分析。通过代码示例展示了如何编写程序进行计算，并讨论了在处理无穷积分时的近似方法。最后，作者提醒注意计算机计算中的截断误差，并提供了代码下载链接。

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最近有人要我帮求函数的二重积分，于是我勉强为其难的答应了，过程有点艰苦但是还是得坚持。
对于函数求矩形积分我们可以采用插值型求积公式既是牛顿科特斯公式，既是将积分区间 [a,b] 划分为n等分，步长h=(b-a)/n,选取Xk=a+K*h构造出来的牛顿—科特斯公式，牛顿-科特斯公式的系数的n越高一般代数精度越高，但是在n>8的时候不具有稳定性，而辛普森公式是n=4的牛顿-科特斯公式，用辛普森公式可以简单又快速计算出积分结果但是误差大，所以为了提高精度采用复合求积法既是复合辛普森公式。
而所知道的复合辛普森求积公式是求一重积分F（X）的，而我们要求的是二重积分F（X，Y）。F(x,y)=∬▒f（x,y）dxdy,而复合辛普森公式是
Sn=h/6*[∫▒〖f(a)+4∑_(k=0)^(n-1)▒〖f(x_(k+1/2) )+〗〗 2∑_(k=1)^(n-1)▒〖f(x_k )+f(b)]〗
这里求的是x的积分，对于求二重积分F（x,y）而言相当于对x求一次偏导，根据积分的可加性,复合辛普森公式可以变为：
Sn=h/6*[∫▒〖f(a)+∫▒∑_(k=0)^(n-1)▒f(x_(k+1/2) ) +∫▒∑_(k=1)^(n-1)▒〖f(x_k )+∫▒f(b) 〗〗]
对f(x,y)的一次积分有

在这里插入图片描述

因为我们要求f(x,y)的二重积分∬▒f（x,y）dxdy，我们可以将①式的每一项修改为
Vn=h/6*[∬▒〖f(a)+∬▒〖∑_(k=0)^(n-1)▒f(x_(k+1/2) ) +∬▒∑_(k=1)^(n-1)▒〖f(x_k )+∬▒f(b) 〗〗〗]--②
有此结构我们可以对②式进行修改，对每一项求x的偏积分，进而就是对每一项求一次复合辛普森，因此②式可变为
Vn=h/6*[∫▒〖Sn(a,y)+∫▒∑_(k=0)(n-1)▒Sn(xi,y)dy+∫▒∑_(k=1)(n-1)▒〖Sn(xi,y)dy+∫▒Sn(b,y) 〗〗]i=a+k*h,h=1,2,…
因此我们就可以得出