weixin_40064300的博客

依概率收敛

如果把μ1μ2μ1​μ2​和σ12σ22σ12​σ22​对图像的影响加入进来，讨论要复杂一些，但是ρ\rhoρ对图像的影响的基本方向不会变，有集中程度和对称中心两方面的影响。其实μ1μ2μ1​μ2​也不过是把图像的对称中心从00(0,0)00转移到了μ1μ2μ1​μ2​，而σ1σ2σ1​σ2​若是不相等，就是ρ0\rho = 0ρ0时的圆环状散点图会变成椭圆环状散点图，之后将ρ。

由事件的独立性到随机变量的独立性，从分布函数到密度函数，直观上非常容易记忆，但是这里面其实是由细微的差异的，注意到这些细微的差异，对于构建严格的逻辑闭环，扎实数学的地基有一定作用。

EXY=EX+EY

泊松分布的由来

证明了矩阵的特征值的代数重数大于等于几何重数

导数的两大特性：导数的介值性（达布定理）。导数无第一类间断点。1. 达布定理（导数介值定理）若函数 fff 在 [a,b] 上可导，且 f+′(a)≠f−′(b)f_+'(a) \neq f_-'(b)f+′​(a)=f−′​(b)，kkk 为介于 f+′(a), f−′(b)f_+'(a) ,\ f_-'(b)f+′​(a), f−′​(b) 之间的任一实数，则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b)，使得 f′(ξ)=kf'(\xi) =

那么现在问题来了，该变换矩阵是上三角矩阵是显然的，但是万一有的行的主元是0呢，这样得到的矩阵岂不是不满秩了吗？所以，我们同样得到了一个可逆线性变换，只不过是在主元为 0 的那些行做了特殊取值。综合以上三种情况，我们不难看出，配方法一定可以找到可逆线性变换，化二次型为标准型。这个变换矩阵是一个主对角线元素全部不为 0 的上三角矩阵，它显然是可逆的，所以。先利用平方差构造出一个平方项，然后在逐次配方，也可以得到一个可逆线性变换。的地位是对等的，所以我们可以先对系数不为 0 的。项的系数看成 0 ，也就是。

由此我们可以得到，在假设对于n-1阶矩阵结论成立的情况下，能够推出对于n阶矩阵结论仍然成立，又对于1阶矩阵结论显然是成立的。根据假设，对于任意n-1阶矩阵，全部顺序主子式大于0能够得到该矩阵正定，所以。是对称矩阵，这是研究二次型的必然要求，将二次多项式转换成。的行列式为该矩阵的元素值，该矩阵的顺序主子式只有1个，即。，即正定矩阵的所有特征值全大于0，自然，行列式的值。的形式的时候，交叉项的系数可以全部是对称的），由于。，该矩阵的行列式大于 0 时，自然有对任意。假设：对任意的 n - 1 阶矩阵，结论“

是什么：首先矩阵A的image就是，矩阵A所有列向量的线性组合,也就是A的列空间。然后，矩阵A的kernel就是，矩阵Ax=0的解集（齐次方程组全部的解），也就是A的零空间。事实上，这个证明不仅证明了实对称矩阵必可相似对角化，还证明了实对称矩阵必可以使用正交矩阵相似对角化。必为实数，它对应的特征向量也是实数，所以可以找到它对应的特征向量中的一个单位向量。的列空间和零空间中的向量是相互正交的，肯定不线性相关，所以它们的交集自然是空集。实对称矩阵的特征值都是实数。是实对称矩阵，显然有。同解，而对于实对称矩阵，

根据上面的式子我们就能得到。

假如矩阵 A 不可逆，则 A 可以看作由最后一行全为0的最简阶梯矩阵经过一系列的变换得到。用这个最简阶梯矩阵左乘矩阵B，自然得到的矩阵最后一行也全为0,它不可逆，行列式为0，再经过同样的一系列的行变换也不会再改变行列式为0的值，即。施加这3种变换，对其行列式的影响分别是：乘 1， 乘 -1， 乘 c。，或者最后一行为零行的方阵开始，经过一系列行变换形成。为了回答这个问题，需要我们逆向思考——对它进行。， 也就是经过一系列行变换，使它变成。这说明所有方阵，都可以从单位矩阵。A、B都是n阶方阵，有。

的系数）替换成方程组右端的常数项。，则方程组有唯一解，且。

会导致 k-A 个逆序减少，但是会新增加 A 个逆序，即这一步总的逆序数变化量为 A - ( k - A) = 2 A - k。会导致 k-B 个逆序减少，但是会新增加 B 个逆序，即这一步总的逆序数变化量为 B - (k - B) = 2 B - k。所以，全排列中任意两个数交换位置，该全排列的逆序数的奇偶性将发生改变。所导致的逆序数的变化量为 2(A+B) - 2k，这肯定是个偶数。本身交换导致的，它要么是+1要么是-1。小的数就有 k - A 个，移动。大的数就有 k- B 个，移动。

正态分布的和

二阶混合偏导数连续则相等的证明

叉乘分配律的证明

1 幂函数的定义域【引理】 设幂函数f(x)=xα(α∈R)f(x)=x^\alpha(\alpha\in R)f(x)=xα(α∈R) 的定义域为DαD_\alphaDα​，则（1）当 α=0\alpha = 0α=0，Dα={x∣x≠0}D_\alpha=\{x|x\neq 0\}Dα​={x∣x​=0}，且此时x0=1x^0=1x0=1；（2）当 α\alphaα 是非零有理数时，可设 α=pq\alpha=\frac{p}{q}α=qp​ (∣p∣,q∈N∗|p|,q\in N^*∣p∣,

微分【定义】设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点x0x_0x0​的某一邻域内有定义，如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y= f(x_0+\Delta x) - f(x_0)Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​) 可以表示为Δy=AΔx+o(Δx),(Δx→0)\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x), (\Delta x \rightarrow 0)Δy=AΔx+o(Δx),(Δx→0)其中AAA为不依赖于Δx\Delta

某点可导及导数导数定义：设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在 x0x_0x0​ 的某邻域内有定义，如果极限lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}Δx→0lim​ΔxΔy​=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(