python 等腰三角形面积公式_用 python 实现简单的有限元算法（三）

华中师范大学 hahakity

前两节介绍了伽辽金有限元算法的基本原理并演示了如何求解一维泊松方程。这一节介绍如何向二维推广，为通用的有限元求解器做点理论准备。

学习内容形函数 (Shape Function)

等参映射 (Isoparametric) 与单元装配 (Assemble)

形函数

上一节讲一维有限元的第 j 个基底函数

横跨相邻的两个单元。推广到二维时，

覆盖很多个三角形单元。

一种比较容易遍历的方法是将

或

拆分到每个单元中。比如，一维情况下，第 e 个单元中有

和

两项的贡献。其中

保留了

的右半边，

保留了

的左半边。

二维情况下，三角形网格的第 e 个单元有

,

和

三项贡献。将一个单元里能够存在的几个基函数定义为形函数，则单元内场的值是形函数的加权求和。

有一种非常简单的方法计算形函数，

，

其中

是单元 e 的面积，

是点 P 与第 k 个边构成的三角形的面积。

很容易发现点 P 落在第

个顶点上有

, 落在它相对的边上有

。

可以用给定顶点坐标时三角形的面积公式给出(此处为行列式的一个应用场景)，

上面的公式可以推广到一维、三维甚至是高维。先在一维下验证一下，