python中x1、y1、x2、y2、依次给定四个数值变量_Python机器学习（五十）NumPy 线性代数...

NumPy中包含了numpy.linalg模块，提供线性代数运算功能。下表描述了该模块中的一些重要功能。

SN函数描述

1

dot()

两个数组的点积

2

vdot()

两个向量的点积

3

inner()

两个数组的内积

4

matmul()

两个数组的矩阵乘积

5

det()

计算矩阵的行列式

6

solve()

解线性矩阵方程

7

inv()

求矩阵的乘法逆矩阵

numpy.dot()

numpy.dot()计算两个数组的点积。

示例

importnumpy as np

a= np.array([[100,200],[23,12]])

b= np.array([[10,20],[12,21]])

dot= np.dot(a,b) #[100 * 10 + 200 * 12, 100 * 20 + 200 * 21] [23*10+12*12, 23*20 + 12*21]

print(dot)

输出

[[3400 6200]

[374 712]]

numpy.vdot()

numpy.dot()计算两个向量的点积。

示例

importnumpy as np

a= np.array([[100,200],[23,12]])

b= np.array([[10,20],[12,21]])

vdot= np.vdot(a,b) #100 *10 + 200 * 20 + 23 * 12 + 12 * 21

print(vdot)

输出

5528

numpy.inner()

numpy.inner()计算两个数组的内积。这个函数返回一维数组内部元素乘积的和。对于n维数组，它返回元素在最后一个轴上的乘积的和。

示例

importnumpy as np

a= np.array([1,2,3,4,5,6])

b= np.array([23,23,12,2,1,2])

inner= np.inner(a,b) #1*23 + 2*23 + 3*12 + 4*2 + 5*1 + 6*2

print(inner)

输出

130

numpy.matmul()

numpy.matmul()计算两个数组的矩阵乘积。

示例

importnumpy as np

a= np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])

b= np.array([[23,23,12],[2,1,2],[7,8,9]])

mul=np.matmul(a,b)print(mul)

输出

[[ 48 49 43]

[144 145 112]

[240 241 181]]

numpy.linalg.det()

numpy.linalg.det()计算矩阵的行列式。

矩阵的行列式可以用对角元素来计算。下面是2×2矩阵的行列式

A B

C D

det()计算公式：AD – BC

示例

importnumpy as np

a= np.array([[1,2],[3,4]])print(np.linalg.det(a))

输出

-2.0000000000000004

numpy.linalg.solve()

numpy.linalg.solve()解线性矩阵方程。

这个函数用于解线性方程，学过线性代数可知，线性方程可以表示为矩阵。

如下面的方程：

x + y = 20x- y = 10可以表示为3个矩阵的方程：

矩阵a：1 1

1 -1矩阵b:

x

y

矩阵c:20

10方程式可以表示为：

a x b= c

示例

importnumpy as np

a= np.array([[1,1],[1,-1]])

c= np.array([[20], [10]])

b=np.linalg.solve(a, c)print(b)

输出

[[15.]

[5.]]

scipy非线性方程组求解

求解线性方程组比较简单，只需要用到一个函数(scipy.linalg.solve)就可以了。比如我们要求以下方程的解，这是一个非齐次线性方程组：

程序代码：

importnumpy as npfrom scipy.linalg importsolve#输出系数矩阵

a=np.array([[3,1,-2],[1,-1,4],[2,0,3]])#值

b=np.array([5,-2,2.5])#计算

x=solve(a,b)#打印结果

print(x)

执行结果：

C:\Anaconda3\python.exe "C:\Program Files\JetBrains\PyCharm 2019.1.1\helpers\pydev\pydevconsole.py" --mode=client --port=59051

import sys; print('Python %s on %s' %(sys.version, sys.platform))

sys.path.extend(['C:\\app\\PycharmProjects', 'C:/app/PycharmProjects'])

Python3.7.6 (default, Jan 8 2020, 20:23:39) [MSC v.1916 64bit (AMD64)]

Type'copyright', 'credits' or 'license' formore information

IPython7.12.0 -- An enhanced Interactive Python. Type '?' forhelp.

PyDev console: using IPython7.12.0

Python3.7.6 (default, Jan 8 2020, 20:23:39) [MSC v.1916 64bit (AMD64)] on win32

runfile('C:/app/PycharmProjects/ArtificialIntelligence/test.py', wdir='C:/app/PycharmProjects/ArtificialIntelligence')

[0.5 4.5 0.5]

简单的方程求解

对2x-4=0的一元一次方程求解

from sympy import *x= symbols('x')print(solve(x*2-4,x))

执行结果：

C:\Anaconda3\python.exe "C:\Program Files\JetBrains\PyCharm 2019.1.1\helpers\pydev\pydevconsole.py" --mode=client --port=59147

import sys; print('Python %s on %s' %(sys.version, sys.platform))

sys.path.extend(['C:\\app\\PycharmProjects', 'C:/app/PycharmProjects'])

Python3.7.6 (default, Jan 8 2020, 20:23:39) [MSC v.1916 64bit (AMD64)]

Type'copyright', 'credits' or 'license' formore information

IPython7.12.0 -- An enhanced Interactive Python. Type '?' forhelp.

PyDev console: using IPython7.12.0

Python3.7.6 (default, Jan 8 2020, 20:23:39) [MSC v.1916 64bit (AMD64)] on win32

runfile('C:/app/PycharmProjects/ArtificialIntelligence/test.py', wdir='C:/app/PycharmProjects/ArtificialIntelligence')

[2]

需要说明的是：solve：第一个参数为要解的方程，要求右端等于0，第二个参数为要解的未知数。还有一些 其他的参数，想了解的可以去看官方文档。

二元一次方程方程的求解

求解方程：

from sympy import *x,y= symbols('x,y')print(solve([2*x-y-3,3*x+y-7],[x,y]))

执行结果：

C:\Anaconda3\python.exe "C:\Program Files\JetBrains\PyCharm 2019.1.1\helpers\pydev\pydevconsole.py" --mode=client --port=59201

import sys; print('Python %s on %s' %(sys.version, sys.platform))

sys.path.extend(['C:\\app\\PycharmProjects', 'C:/app/PycharmProjects'])

Python3.7.6 (default, Jan 8 2020, 20:23:39) [MSC v.1916 64bit (AMD64)]

Type'copyright', 'credits' or 'license' formore information

IPython7.12.0 -- An enhanced Interactive Python. Type '?' forhelp.

PyDev console: using IPython7.12.0

Python3.7.6 (default, Jan 8 2020, 20:23:39) [MSC v.1916 64bit (AMD64)] on win32

runfile('C:/app/PycharmProjects/ArtificialIntelligence/test.py', wdir='C:/app/PycharmProjects/ArtificialIntelligence')

{x:2, y: 1}

一元二次方程的求解

求解：

from sympy import *x= symbols('x')print(solve(x**2+2*x+1,x))

执行结果：

[-1]

[Finishedin 1.0s]

求解八元一次方程

from sympy import *a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2=symbols('a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2')

x0,x1,x2,y0,y1,y2=symbols('x0,x1,x2,y0,y1,y2')

result=solve([a1+b1*x0+c1*x0*x0+d1*x0*x0*x0-y0,

a1+b1*x1+c1*x1*x1+d1*x1*x1*x1-y1,

a2+b2*x1+c2*x1*x1+d2*x1*x1*x1-y1,

a2+b2*x2+c2*x2*x2+d2*x2*x2*x2-y2,

b1+2*c1*x1+3*d1*x1*x1-b2-2*c2*x1-3*d2*x1*x1,

c1+3*d1*x1-c2-3*d2*x1,

c1+3*d1*x0,

c2+3*d2*x2],[a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2])#设置参数

cs=[(x0,6),(x1,9),(x2,12),(y0,0),(y1,3),(y2,0)]#print(result[a1])#print(result[b1])#print(result[c1])#print(result[d1])#print(result[a2])#print(result[b2])#print(result[c2])#print(result[d2])

a1=result[a1].subs(cs)

b1=result[b1].subs(cs)

c1=result[c1].subs(cs)

d1=result[d1].subs(cs)

a2=result[a2].subs(cs)

b2=result[b2].subs(cs)

c2=result[c2].subs(cs)

d2=result[d2].subs(cs)print(a1)print(b1)print(c1)print(d1)print(a2)print(b2)print(c2)print(d2)

执行结果

C:\Anaconda3\python.exe "C:\Program Files\JetBrains\PyCharm 2019.1.1\helpers\pydev\pydevconsole.py" --mode=client --port=59277

import sys; print('Python %s on %s' %(sys.version, sys.platform))

sys.path.extend(['C:\\app\\PycharmProjects', 'C:/app/PycharmProjects'])

Python3.7.6 (default, Jan 8 2020, 20:23:39) [MSC v.1916 64bit (AMD64)]

Type'copyright', 'credits' or 'license' formore information

IPython7.12.0 -- An enhanced Interactive Python. Type '?' forhelp.

PyDev console: using IPython7.12.0

Python3.7.6 (default, Jan 8 2020, 20:23:39) [MSC v.1916 64bit (AMD64)] on win32

runfile('C:/app/PycharmProjects/ArtificialIntelligence/test.py', wdir='C:/app/PycharmProjects/ArtificialIntelligence')3

-9/2

1

-1/18

-78

45/2

-2

1/18

Python求解各种复杂的线性/非线性方程组

本文将要介绍几种方法去求解各种复杂的方程组，包括实数域和复数域的线性、非线性方程组，并对比这几种方法的优缺点。本文用到了numpy、scipy、sympy这三个科学计算包。

一、线性方程组。

线性方程组可以用numpy去求解。

1.实数域。

importnumpy as np

a=np.mat('1,2,3;2,4,8;9,6,3')

b=np.mat('1;1;3')

c=np.linalg.solve(a,b)

输出如下：

2.复数域。

importnumpy as np

a=np.mat('1,-1j;1j,-1')

b=np.mat('1;1')

c=np.linalg.solve(a,b)

输出如下：

二、非线性方程组。

scipy和sympy不但可以解线性方程(组)，还可以求解非线性方程(组)，但是也有各自的优缺点。

1.scipy求解

scipy.optimize里面有两个函数可以数值求解方程组，分别是root和solve，这两个函数会找到方程组的一个近似解。下面通过例子介绍这两个函数的使用。

(1).root

scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method=‘hybr’, jac=None, tol=None, callback=None, options=None)

其中参数fun是一个函数，你需要定义这个函数，并且你定义的这个函数返回一个方程组。 参数x0是方程组解的初始猜测值，是必须要指定的参数，root函数将找到最靠近x0的一个解。参数args是函数fun的额外参数。参数method默认是‘hybr’，此参数还可以取 ‘lm’ ‘broyden1’ ‘broyden2’ ‘anderson’ ‘linearmixing’ ‘diagbroyden’ ‘excitingmixing’ ‘krylov’ ‘df-sane’，代表采用不同的算法去求解。参数tol可以认为是精度。

先来看看实数域的例子

from scipy.optimize importrootdeff1(x):return [x[0]+x[0]*x[1]-2,x[0]-x[1]-2]print(root(f1,[0,-1]).x)#初始猜测值[0,-1]

print(root(f1,[0,0]).x)#初始猜测值[0,0]

输出如下：

求出的近似解与真解相差非常小。设置不同的初始猜测值可能得到不同的解，这是因为有的方程组的解不一定只有一个，可能有多个解，root函数会得到最接近初始猜测值的一个解。

此外，在上面的基础上我们可以设置参数jac来提高运算速度(尤其是计算量很大时效果很明显)。

我们需要再定义一个函数，这个函数返回值是方程组对应的雅可比矩阵，通过下面的例子说明。

from numpy importarray,mat,sin,cos,expfrom scipy.optimize importrootdeff(x):

eqs=[]

eqs.append(x[0]*x[1]+x[1]*x[2]+sin(x[0])*exp(x[1])+x[1])

eqs.append(x[0]*x[1]-exp(x[0])*x[1]+1)

eqs.append(x[1]*x[2]+exp(x[1])*x[2]+1)returneqsdef jac1(x):#方程组对应的雅可比矩阵

return mat([[x[1]+cos(x[0])*exp(x[1]), x[0]+x[2]+sin(x[0])*exp(x[1])+1, x[1]],

[x[1]-exp(x[0])*x[1], x[0]-exp(x[0]), 0],

[0 ,x[2]+exp(x[1])*x[2], x[1]+exp(x[1])]])print(root(f,[0,0,0]).x)print(root(f,[0,0,0],jac=jac1).x)#加上参数jac加快运算速度

输出如下：

再来看一个复数域的例子

如果不设置参数method，它默认是‘hybr’，即用改进的Powell hybrid算法求解，它不适用于复数域。此时我们不能再用上面的办法，我们可以设置参数method=‘krylov’ (此算法牺牲精度换取速度，有利有弊)

from scipy.optimize importrootdeff1(x):return [x[0]*(1j)+x[0]*x[1]+1,x[0]+x[1]-1j]print(root(f1,[1,1],method='krylov').x)print(root(f1,[1,1],method='krylov',tol=1e-10).x)#设置能够允许的误差为10的-10次方

输出如下：

第一行输出没有设置参数tol，得到的解与真解的差别还是有一点的。

第二行输出我们设置了参数tol是10的-10次方，得到的解与真解的差别就相当小了。

另外method参数也可以设为别的，解复数域的非线性方程组建议用method=‘krylov’，它不需要雅可比矩阵，它在处理很庞大、变量很多的方程组时比较好用。

(2).fslove

fsolve的用法和root很类似，但是它的功能不如root全面，fsolve其实就是用hybr算法求解, 因此它不能解复数域的方程组。下图可以看出fsolve和root的差别：

可见，fsolve只是root的一小部分。

scipy.optimize.fsolve(func, x0, args=(), fprime=None, full_output=0, col_deriv=0, xtol=1.49012e-08, maxfev=0, band=None, epsfcn=None, factor=100, diag=None)

(其中参数fprime对应雅可比矩阵，其余参数和root函数基本一样。)

from scipy.optimize importfsolvefrom numpy importarray,matdeff1(x):return [x[0]+x[0]*x[1]-2,x[0]-x[1]-2]def jac1(x):#方程组对应的雅可比矩阵

return mat([[1+x[1],x[0]],[1,-1]])print(fsolve(f1,[0,-1]))#初始猜测值[0,-1]

print(fsolve(f1,[0,-1],fprime=jac1))#初始猜测值[0,-1],并设置参数prime

print(fsolve(f1,[0,0]))#初始猜测值[0,0]

print(fsolve(f1,[0,0],fprime=jac1))#初始猜测值[0,0],并设置参数prime

2.sympy求解

sympy中的solve函数可以严格求解某些方程组，nsolve可以数值求近似解。

(1).solve

直接看一个复数域的例子：

from sympy importsymbols,Eq,solve

x0,x1=symbols('x0 x1')

eqs=[Eq(x0*(1j)+x0*x1,-5),Eq(x0+x1,1j)]print(solve(eqs,[x0,x1]))

输出如下：

solve函数就会找到所有的解。但是像超越方程之类的不存在求根公式的方程，solve函数是不能求解的，只能数值求解，要用nsolve函数。

(2).nsolve

nsolve函数需要指定一个初始猜测解。

from sympy importsymbols,Eq,nsolve

x0,x1=symbols('x0 x1')

eqs=[Eq(x0*(1j)+x0*x1,-5),Eq(x0+x1,1j)]print(nsolve(eqs,[x0,x1],[1,1]))#初始猜测解设为[1，1]

输出如下：

nsolve有时候并不是很好使，初始猜测解设的不好，它有可能找不到解。

三、scipy和sympy的优缺点分析。

1.scipy.optimize.root求解方程组速度很快，尤其是加上参数jac或参数method='krylov’时，求解大型方程组速度会很明显的比其它办法快，即使是1000个变量的方程组，它也能很快解完。但是有的方程组有多解(比如二次方程有俩根)，而scipy.optimize.root只能得到靠近初始猜测值的那个解。

2.对一些形式比较简单的、有求根公式的方程，sympy.solve虽然能得到它所有的严格解，但是当方程组变量较多时，它求起来会很慢。而且对于不存在求根公式的复杂方程，sympy.solve是求不了的，这时要用sympy.nsolve的求数值解，速度也比scipy.optimize.root慢很多。

四、总结

1.线性方程组用numpy.linalg.solve足矣。(实数域复数域都可以)

2.求解非线性方程组，如果存在求根公式的且未知量数目较少的方程组，可以用sympy求。如果是很庞大且形式较复杂的方程组，用scipy.optimize.root数值求解，最好写出雅可比矩阵以提高运算速度。(如果你懒得写雅可比矩阵，就设置参数method=‘krylov’，解起来速度也很快，只不过精度不高)。

最后展示一段代码，测试一下scipy.optimize.root的求解速度，这里是求解含有400个未知量的非线性方程组，解20次，耗时2秒。

from numpy importarray,arange,sin,cos,sqrt,exp,pi,meshgrid,dtype,linalg,zerosfrom scipy.optimize importroot,fsolvefrom matplotlib.pyplot importfigure,xlabel,ylabel,show,textfrom mpl_toolkits.mplot3d importAxes3Dfrom time importtimedef run(m,n,marker=None):

v=1L,T=pi,1h,tao=L/m,T/n

mlist=arange(0,m+1)

nlist=arange(0,n+1)

f=lambda x,t:exp(-2*t)*sin(x)*cos(x)

phi=lambdax:sin(x)

realsolve=lambda x,t:exp(-t)*sin(x)

mysolves=[phi(mlist*h)]defu(x,ii,j):if j==1:returnx[ii]elif j==1/2:return (x[ii]+x_former[ii])/2

elif j==0:returnx_former[ii]else:print("error")def jac(x):#雅可比矩阵

a=zeros((m+1,m+1))

a[0][0]=1a[-1][-1]=1

for i in range(1,m):

a[i][i-1]=1/6/h*((x[i+1]+x_former[i+1])/2-(x[i-1]+x_former[i-1])/2-((x[i-1]+x_former[i-1])/2+(x[i]+x_former[i])/2+(x[i+1]+x_former[i+1])/2))-v/(2*h*h)

a[i][i]=1/tao+1/6/h*((x[i+1]+x_former[i+1])/2-(x[i-1]+x_former[i-1])/2)+v/(h*h)

a[i][i+1]=1/6/h*((x[i+1]+x_former[i+1])/2-(x[i-1]+x_former[i-1])/2+((x[i-1]+x_former[i-1])/2+(x[i]+x_former[i])/2+(x[i+1]+x_former[i+1])/2))-v/(2*h*h)returnadefeqsgroup(x):

eqs=[x[0]]for i in range(1,m):

eqs.append(1/tao*(u(x,i,1)-u(x,i,0))+1/(6*h)*(u(x,i-1,1/2)+u(x,i,1/2)+u(x,i+1,1/2))*(u(x,i+1,1/2)-u(x,i-1,1/2))-v/h/h*(u(x,i-1,1/2)-2*u(x,i,1/2)+u(x,i+1,1/2))-f(i*h,k*tao) )#eqs.append(x[m])returnarray(eqs)

x_former=phi(mlist*h)

start=time()for k inarange(0,n):#x_former=fsolve(eqsgroup,x_former,fprime=jac)

x_former=root(eqsgroup,x_former,jac=jac).x

mysolves.append(list(x_former))print('scipy计算时间为',time()-start,'秒')

x,y=mlist*h,nlist*tao

x,y=meshgrid(x, y)

z=array(mysolves,dtype=dtype('float32'))

z2=array(realsolve(x,y))

dz=z-z2

ekmax=array(linalg.norm(dz,axis=1)*sqrt(h)).max()

fig= figure(figsize=(15, 10),dpi=80)

axes3d=Axes3D(fig)

axes3d.set_title(r'$h=\pi/$'+str(m)+r'$\tau=1/$'+str(n),color = 'black',size = 30)

axes3d.plot_surface(x,y,z)

axes3d.plot_surface(x,y,z2)

xlabel('x',color = 'black',size = 30)

ylabel('t',color = 'black',size = 30)

axes3d.set_xlim(0,pi)

axes3d.set_xticks([0,pi/4,pi/2,0.75*pi,pi])

axes3d.set_xticklabels([0, r'$\frac{\pi}{4}$', r'$\frac{\pi}{2}$', r'$\frac{3\pi}{4}$', r'$\pi$'],size=20)

axes3d.set_zlabel(r'$U(x,t)$',color = 'black',size=30)

axes3d.set_zticks(arange(0,1,0.1))

axes3d.set_zticklabels([0,0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9],size=13)

show()

run(400,20)

如果用sympy去解，等很久都解不出。scipy解非线性方程组的能力不比matlab差。

矩阵的特征值和特征向量

import numpy as np

A = np.array([[3,-1],[-1,3]])

print('打印A：\n{}'.format(A))

a, b = np.linalg.eig(A)

print('打印特征值a：\n{}'.format(a))

print('打印特征向量b：\n{}'.format(b))

执行结果：

C:\Anaconda3\python.exe "C:\Program Files\JetBrains\PyCharm 2019.1.1\helpers\pydev\pydevconsole.py" --mode=client --port=54930

import sys; print('Python %s on %s' %(sys.version, sys.platform))

sys.path.extend(['C:\\app\\PycharmProjects', 'C:/app/PycharmProjects'])

Python3.7.6 (default, Jan 8 2020, 20:23:39) [MSC v.1916 64bit (AMD64)]

Type'copyright', 'credits' or 'license' formore information

IPython7.12.0 -- An enhanced Interactive Python. Type '?' forhelp.

PyDev console: using IPython7.12.0

Python3.7.6 (default, Jan 8 2020, 20:23:39) [MSC v.1916 64bit (AMD64)] on win32

runfile('C:/app/PycharmProjects/ArtificialIntelligence/test.py', wdir='C:/app/PycharmProjects/ArtificialIntelligence')

打印A：

[[3 -1]

[-1 3]]

打印特征值a：

[4. 2.]

打印特征向量b：

[[0.70710678 0.70710678]

[-0.70710678 0.70710678]]

一 要点

假定AX=b，求解未知矩阵X 【线性代数中常遇到的运算问题】

矩阵转置A^(T)

矩阵的逆A^(-1)

矩阵行列式的值|A|

矩阵的秩 rank(A)

矩阵的迹 trace(A)

其它

单位矩阵

0向量/矩阵

...

二 示例应用

2.1 求解AX=b中的未知参数矩阵X

importnumpy as np#Hypothsis : A*X = b

A= [[2,1,2],

[3,1,0],

[1,1,-1]];

b= np.transpose([-3,5,-2])#转置#[or] b = np.transpose(np.array([-3,5,-2]))# 转置

#求解未知参数矩阵X

X = np.linalg.solve(A,b) #方式一：直接使用numpy的solve函数一键求解#A_inv=np.linalg.inv(A) # 方式二：先求逆运算，再点积求值#X=np.dot(A_inv,b) # a.dot(b) 与 np.dot(a,b) 效果相同；but np.dot(a,b)与np.dot(b,a)效果肯定是不同的(线性代数/矩阵常识)

print("方程组的解：\n",X);#[output]

方程组的解：

[4.4 -8.2 -1.8]

2.2 利用最小二乘法拟合函数模型

给出一组数据【5对(Xi,Yi)参数】，用最小二乘法，求形如：f(x)=a+b*x^3的经验公式。

原方程(模型)

f(x)=a+bx3f(x)=a+bx3

其法方程

ATA(ab)=ATyATA(ab)=ATy

即

(ab)=(ATA)−1ATy(ab)=(ATA)−1ATy

importnumpy as npimport matplotlib.pyplot as plt #Python 绘图工具(业界推荐)

#数据初始化

A =[

[1,pow(-3,3)],

[1,pow(-2,3)],

[1,pow(-1,3)],

[1,pow(2,3)],

[1,pow(4,3)]

];

At= np.transpose(A); #A的转置矩阵

y= np.transpose([14.3,8.3,4.7,8.3,22.7]);#step1:求解## 令 (a ,b)^T 为 未知参数X

X =np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(At,A)),At),y)print(X)print("a:",X[0])print("b:",X[1])#step2:查看拟合效果

x = [-3,-2,-1,2,4];## 1. 计算拟合数值 fitValue

deffitValue(arg_x):

a=X[0];

b= X[1];return a + b*pow(arg_x,3);

fitValues= np.zeros([5]); #创建长为5的【一维】数组；[1,5]：创建第1行为5个元素的【二维】数组

for i inrange(0,len(fitValues)):

fitValues[i]=fitValue(x[i]);print(i,":","x(i):",x[i],"fit Y:",fitValues[i]); #just for test

pass;## 2. 绘图可视化

yt = np.transpose(y); #y的转置

plt.rcParams['figure.dpi'] = 100 #分辨率

plt.scatter(x, yt, marker = '*',color = 'red', s = 10 ,label = 'Actual Dataset') #真实数据集

plt.scatter(x, fitValues, marker = 'x',color = 'green', s = 10 ,label = 'Fitting Dataset') #[拟合数据集]

plt.legend(loc = 'best') #设置 图例所在的位置 使用推荐位置

plt.show()#[output]

[ 10.67505325 0.13679816]

a:10.6750532504b:0.1367981596660 : x(i):-3 fit Y: 6.98150293942

1 : x(i): -2 fit Y: 9.58066797308

2 : x(i): -1 fit Y: 10.5382550907

3 : x(i): 2 fit Y: 11.7694385277

4 : x(i): 4 fit Y: 19.430135469

2.3 数组创建/初始化

numpy.linspace(start, stop[, num=50[, endpoint=True[, retstep=False[, dtype=None]]]]])

一维等差数列

return 在指定范围内的均匀间隔的数字(组成的数组)，也即返回一个等差数列

参数

start - 起始点

stop - 结束点

num - 元素个数，默认为50，

endpoint - 是否包含stop数值，默认为True，包含stop值；若为False，则不包含stop值

retstep - 返回值形式，默认为False，返回等差数列组，若为True，则返回结果(array([samples, step])),

dtype - 返回结果的数据类型，默认无，若无，则参考输入数据类型。

importnumpy as np

a= np.linspace(1,10,5,endpoint=True)print(a) #[ 1. 3.25 5.5 7.75 10. ]

b= np.linspace(1,10,5,endpoint=False)print(b) #[1. 2.8 4.6 6.4 8.2]

c= np.linspace(1,10,5,retstep =False)print(c) #[ 1. 3.25 5.5 7.75 10. ]

d= np.linspace(1,10,5,retstep =True)print(d) #(array([ 1. , 3.25, 5.5 , 7.75, 10. ]), 2.25)

2.4 线性代数常用运算

print("原矩阵A：\n",A);print("原矩阵b：\n",b);print("转置矩阵A^T：\n",np.transpose(A)); #转置

print("矩阵的行列式值|A|：\n",np.linalg.det(A)); #方阵的行列式值：|A|

print("矩阵的迹trace(A)：\n",np.trace(A));print("矩阵的秩rank(A)：\n",np.linalg.matrix_rank(A));print("逆矩阵A^(-1)：\n",np.linalg.inv(A)); #矩阵的逆运算(条件：矩阵A可逆(行列式值不为0)| 矩阵A为方阵)

print("*"*30); #分隔线

print("N阶单位矩阵:\n",np.eye(4));print(np.zeros([5])); #创建长为5的【一维】数组；[1,5]：创建第1行为5个元素的【二维】数组

#创建指定的初始化数组

print(np.array([1])) #生成 第1行含值为1的元素的【一维】数组

print(np.array([[56]])) #生成 第1行含值为56的元素的【二维】数组

np.full((3,5),3.14) #创建一个3x5的浮点型数组，数组的值都是3.14#[output]

原矩阵A：

[[2, 1, 2], [3, 1, 0], [1, 1, -1]]

原矩阵b：

[-3 5 -2]

转置矩阵A^T：

[[2 3 1]

[1 1 1]

[2 0 -1]]

矩阵的行列式值|A|：5.0矩阵的迹trace(A)：2矩阵的秩rank(A)：3逆矩阵A^(-1)：

[[-0.2 0.6 -0.4]

[0.6 -0.8 1.2]

[0.4 -0.2 -0.2]]**********************N阶单位矩阵:

[[1. 0. 0. 0.]

[ 0.1. 0. 0.]

[ 0. 0.1. 0.]

[ 0. 0. 0.1.]]

[ 0. 0. 0. 0. 0.]

[1]

[[56]]