边缘分布律_概率论笔记-Ch3随机向量及其分布

本节包括：

• 随机向量的基础定义
• 多元正态分布
• 随机向量函数的分布
• 条件分布和条件密度

基础定义

随机向量

设

为定义在概率空间

的随机变量，则

为

上的

n维随机向量

为

的

联合分布

为

的

边缘分布

注记

(1) 由联合分布可以推出边缘分布，但反之不成立

(2) 由联合分布和边缘分布可以推得

的独立性

离散随机向量

若

为离散随机变量，则

为

离散随机向量，称

为

的

联合概率

注记

设离散随机向量

有联合概率

，则

独立的

充要条件为：

连续随机向量

设

为随机向量，若存在一非负可积函数

使得对任意

就称

为

连续随机变量，

为

联合密度

注记

若对任意

，随机向量

有密度

，则

独立的充要条件为

的联合密度

多元正态分布

二元正态分布

设

，

，

，若随机向量

有概率密度

其中

则称

服从

二元正态分布，记作

注记

(1)

独立当且仅当

(2) 记

则可将

重写为

多元正态分布

对于随机向量

，设

为实向量，

为正定矩阵，若有概率密度

则称

服从

n元正态分布

随机向量函数的分布

设随机向量

的联合密度为

，

定义随机变量

则随机向量

的

联合分布：

其中

为

集

注记

即通过

，找到对应

的

区间

，在区间

上积分

，获得

，再微分即可获得密度函数

m=1时

• 离散型：用分布律，分析各种情况
  • ，若
    独立
  • ，若
    独立
• 连续型：先求
  ，再求导得到
  • ，
    均为连续随机变量

m=n时

设

有联合密度

，

是

的函数，

是平面上的区域使得

，如果存在

上的函数

使得：

1. 对
   ，有
2. 是
   到其值域
   的可逆映射，有连续偏导数，
   
   且
3. 集合
   互不相交

则

有联合密度

条件分布和条件密度

离散

设

是离散型随机向量，有概率分布

则称

为在条件

下

的

条件分布

注记

独立的充要条件为

连续

设随机向量

有联合密度

，

有边缘密度

；

若在确定的

处

，则称

为条件

下

的

条件分布；

为条件

下

的

条件密度

注记

(1)

(2)

独立的

充要条件为对

，