无穷级数求和7个公式_数分笔记——6种数项级数的收敛性证明的基本方法

最新推荐文章于 2024-10-12 22:58:42 发布

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文章标签：无穷级数求和7个公式

本文详细介绍了数项级数的收敛性证明，包括直接验证部分和有极限、Abel求和法、比较判别法、d'Alembert判别法、等价无穷小和Cauchy准则。通过具体例子和证明，阐述了这些方法的使用和应用。

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本文是数学分析复习系列第(2)篇文章. 上一篇文章：

Fiddie：数学分析复习(1)——函数项级数与广义积分计算zhuanlan.zhihu.com

参考书：裴礼文、梅加强.

主要的数项级数收敛性证明方法整理如下：

直接验证部分和有极限
Abel变换验证部分和有极限
比较判别法
d'Alembert判别法
等价无穷小
Cauchy准则

1 直接验证部分和有极限

级数

的部分和

级数收敛的充分必要条件是

收敛.

若

则称上述级数为

正项级数, 此时部分和单调递增. 从而正项级数收敛的另一个充分必要条件是

有上界.

例1.1 判断级数
的敛散性.

解: 注意到

则原级数收敛. QED

例1.2 [裴礼文, 例5.1.26]设
是正项级数, 满足:
关于n有界;
单调下降趋于0. 证明级数
收敛.

证明：任取

满足

则

有界, 记为

由

的单调性可知当

时

由

的任意性, 固定

让

则

又由

的任意性, 级数

收敛. QED

例1.3 [裴礼文, 例5.1.30]若
发散, 则
收敛.

证明: 由于

是单调递增趋于无穷的, 则

且

故

收敛. QED

2 Abel求和验证部分和有极限

例2.1 设数列
收敛, 且级数
收敛, 证明级数
也收敛.

证明: 设

则

由于

收敛, 则

也收敛, 从而

收敛. QED

定理2.2 [Dirichlet判别法]设数列
单调趋于0, 级数
的部分和有界, 则级数
收敛.

证明：设

并不妨设

单调递减趋于0, 则

且

由于

当

时, 上式趋于0. 依据Cauchy准则，原级数收敛. QED

定理2.3 [Abel]设数列
单调有界, 级数
收敛, 则级数
收敛.

证明：设

则

单调趋于0. 由Dirichlet判别法,

收敛, 则级数

收敛. QED

例2.4 级数
是收敛的.

证明：利用公式

可得

根据Dirichlet判别法, 原级数收敛. QED

3 比较判别法

定理3.1 若存在
使得
(对充分大的
成立即可), 且
收敛, 则
收敛.
例3.2 判断级数
的敛散性.

提示: 当

时,

QED

例3.3 判断级数
的敛散性.

提示: 注意到

例3.4 若级数
收敛, 则
收敛.

提示:

用

例3.2.

例3.5 [裴礼文, 例5.1.17]证明级数
收敛.

提示: n充分大时,

例3.6 设
收敛, 证明级数
也收敛.

证明： 由Cauchy-Schwarz不等式,

故

因此

由

收敛知,

收敛. QED

4 d'Alembert判别法

设

是正项数列. 在比较判别法中, 我们需要找

的上界. 如果数列

是单调递减的, 那么上界当然会存在(就是

), 而数列

是单调递减的当且仅当

下面取

且

则有如下的d'Alembert判别法:

(1)若对充分大的n恒有

时, 级数

收敛.

(2)若对充分大的n恒有

则级数

发散.

例4.1 设
判断级数
的敛散性.

解: 由于

则当

时级数收敛; 当

时级数发散. 当

时,

级数也发散. QED

5 等价无穷小

对比较判别法作一些改写. 设

是正项数列, 如果

则

(1)当

时,

与$$

同敛散：

(2)当

时,

收敛可推出

收敛.

(3)当

时,

发散可推出

发散.

例5.1 [裴礼文, 例5.1.21]若正项级数
收敛, 且
证明
收敛.

证明：正项级数

收敛, 则

故

收敛. QED

例5.2 判断
的敛散性.

解：由Taylor展开,

则

原级数收敛. QED

例5.3 设
判断
的敛散性.

解: 由于

则级数

的敛散性与级数

的敛散性相同. 当

时原级数收敛, 当

时原级数发散. QED

例5.4 设
计算

提示: 求

的极限.

例5.5 计算

提示:

6 利用Cauchy准则

定理6.1 [Cauchy准则]
收敛的充分必要条件是:
当
时,

例6.2 判断调和级数
的敛散性.

(不等于61.35)

解：

时, 有

由Cauchy准则, 原级数发散. QED

例6.3 若
为发散级数, 则
也发散.

证明：若

有无穷项不小于1, 则

发散;

若

只有有限项不小于1, 则存在

当

时

从而此时有

由Cauchy准则, (省略一些步骤)

也发散. QED

例6.4 [裴礼文, 例5.1.12] 设
级数
证明
发散.

证明：

单调上升, 则

由于

则任意的正整数

当p充分大时, 有

从而

则

发散. QED