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计算机模拟[精选]

Monte-Carlo 方法 一、MC 的起源和发展 Buffon试验 排队系统模拟：M/G/1排队系统 二、MC 的原理 三、随机数的产生原理与IMSL库 均匀分布U(0,1)的随机数的产生 其他各种分布的随机数的产生 随机过程模拟 四、MC的应用举例 定积分的MC计算 随机微分方程的数值模拟 五、EM算法及其MCMC方法 一、MC 的起源和发展 在大众的心目中，科学的代言人是心不在焉的牛顿或者爆炸式发型的爱因斯坦，但这只是传统形象，比他们更了解现代计算技术的冯·诺伊曼是个衣着考究，风度翩翩的人物，他说：纯粹数学和应用数学的许多分支非常需要计算工具，用以打破目前由于纯粹分析的研究方法不能解决非线性问题而形成的停滞状态。 二、MC 的原理 思路： 1、 针对实际问题建立简单且便于实现的概率统计模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的概率分布或其某些数字特征，比如，均值和方差等。所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致的。 2、 根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，再进行随机模拟试验。 思路： 3、 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样(包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等)。 4、 按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。 5、 统计分析模拟试验结果，给出问题的估计以及其精度估计。 6、 必要时，还应改进模型以降低估计方差和减少试验费用，提高模拟计算的效率。 收敛性: 由大数定律, Monte-Carlo模拟的收敛是以概率而言的． 误差: 用频率估计概率时误差的估计，可由中心极限定理，给定置信水平 的条件下，有： 模拟次数:由误差公式得 随机过程模拟 高斯白噪声的产生： 一种简单有效的模拟高斯白噪声过程的方法是由独立的单位正态随机序列 ，按照如图所示的方式连接，其中 式中 为白噪声的强度。 由于正态随机数的独立性，当 很小时，按(a) 、(b)所构成的过程的相关时间很短，从而具有很高的截止频率。 当然， 过小，样本的计算量过大。因此，选取 适当小即可。 三、关于随机数的几点注 注1 由于均匀分布的随机数的产生总是采用某个确定的模型进行的，从理论上讲，总会有周期现象出现的。初值确定后，所有随机数也随之确定，并不满足真正随机数的要求。因此通常把由数学方法产生的随机数成为伪随机数。 但其周期又相当长，在实际应用中几乎不可能出现。因此，这种由计算机产生的伪随机数可以当作真正的随机数来处理。 注2 应对所产生的伪随机数作各种统计检验，如独立性检验，分布检验，功率谱检验等等。 四、MC的应用举例 例一、定积分的MC计算 随机投点法 样本平均值法 几种降低估计方差的MC方法 例二、 随机微分方程的数值模拟 定积分的MC计算 事实上，不少的统计问题，如计算概率、各阶距等，最后都归结为定积分的近似计算问题。 下面考虑一个简单的定积分 为了说明问题，我们首先介绍两种求 的简单的MC方法，然后给出几种较为复杂而更有效的MC方法。 随机投点法 假设我们向?中随机投点，若点落在曲线y=f(x)下方，称为点中，否则称为不中 那么我们可以得到 的一个估计 具体试验步骤为 注1 随机投点法的思想简单明了，且每次投点结果服从二项分布，故 ，其中 注2 可证 是 的无偏估计。若用估计的标准差来衡量其精度，则估计 的精度的为 。 注3 这里，定积分的解，就对应我们选定的随机变量的概率值。 样本平均值法 基本原理：对积分 ，设 是 上的一个密度函数，改写 可见，任一积分均可以表示为某个随机变量(函数)的期望。由矩法，若有 个来自 的观测值，则可给出 的一个矩估计。 最简单的，若 ，有限，可取 。 设 是来自 的随机数，则 的一个估计为 具体步骤为 注 可证 是 的无偏估计。一般而言，样本均值法要比随机投点法更有效。 求解定积分的算例 计算定积分 事实上，其精确解为 随机投点法：sjtd_djf.f90，及动态图 样本平均值法：ybpjz_djf.f90 注 所有计算中的随机数的产生均来自IMSL库。样本数为1