数据库系统概论__B树的实现

        前文中，对B树进行了探讨，对于重要知识点进行了说明，但是，关于B树的概念还有些需要具体说明，在了解概念的基础上，实现对B+树的相关操作。
我们描述一个m阶（m>=3）的B树，指的是m一个节点最多有m个孩子节点，当m=2的时候，指的是二叉搜索树。

 

第一部分：B树的定义

        一颗m阶的B树定义如下：
        1) 每个节点最多有m-1个关键字（每一个叶子节点都包含k-1个元素，其中 m/2.0 <= k <= m）
        2）根节点最少有一个关键字（或者说根节点至少有两个孩子）
        3）非根节点至少有Math.ceil(m/2.0) -1个关键字。最多有m-1个关键字 即每个中间节点都包含k-1个元素和k个孩子，其中 m/2 <= k <= m(这里有一个疑问 ：如果m=3 的时候，中间节点的个数至少为1  如果m=4 的时候, 中间节点的个数至少为1  如果m=2的时候，非根节点的节点至少有0个节点么,并不是么 其实我们要强调的是m>=3[解决了第一个问题] )
        4）每个结点中的关键字都按照从小到大的顺序排列，每个关键字的左子树中的所有关键字都小于（***）它，而右子树中的关键字都大于（***）它。
        5）每个叶子节点都位于同一层，或者说根节点到每个叶子节点的长度都相同。
        
        上述一颗阶数为4的B树，但是实际应用中B树的阶数m都非常大(通常大于100)，所以即使存储大量的数据，B树的高度仍然比较小。每个结点中存储了关键字（key）和关键字对应的数据（data），以及孩子结点的指针，我们将一个key和其对应的data称为一个记录。在数据库中我们将B(B+)作为索引结构，可以加快查询速度，此时B树中的Key就是键，而data表示了这个键对应的条目在硬盘上的逻辑地址。

 

示例：以5阶B树为例，说明B树满足的条件
 以5阶二叉树为例子，我们可以说明5阶二叉树的特点。
        1)每个节点最多有4个关键字。
        2）根节点至少有一个关键字。
        3）非根节点至少有2个关键字。
        4）每个关键字从左到右都按照从小到大的顺序排列，每个关键字的左子树中的所有关键字都小于它，而右子树中的关键字都大于它。
        5）每个叶子节点都位于同一层。

                           

第二部分：B树的搜索

从根节点搜索，找到返回，找不到递归子节点。一直搜索到叶子节点，找到返回，找不到则说明key不存在。

entry BTreeSearch(node, key) {

    if(node == null)

           return null;

    for(int i = 0; i < node.keys.length; i++)

    {

        if(node.keys[i] == key)

               return node.data[i];

    }

    return BTreeSearch(ChildrenNode[i].node,key);

}

第三部分：B树的插入

B树的插入操作指的是插入一条记录，即<key,value>键值对。如果树中的键已经存在，那么我们需要做的就是更新节点的值。若B树不存在这个key ，那么一定是在叶子节点中进行插入操作（这个和二叉排序树是一致的）。

1.根据要插入的key的值，找到合适的叶子节点位置并进行插入。

2.判断当前的key的个数是否满足关键字的条件，集关键字的最大个数不超过m-1，若满足条件，则结束，否则进行第3步操作。

3.这个时候的叶子节点key的个数等于B树的阶数，这个时候需要进行分裂操作，并将中间节点key拿到父节点中，这个key的左子树指向分裂后的左半部分，这个key的右子枝指向分裂后的右半部分，然后将当前节点指向父节点，继续进行第3步。（我们查看key所在节点的个数是否小于B树的阶数,如果小的话，说明不需要分裂 否则 依次向上层验证，直到根节点。）

示例：下面是一颗5阶B树的插入过程，5阶B数的结点最少2个key，最多4个key。

 （1）在空树中插入39

 此时根结点就一个key，此时根结点也是叶子结点

 

（2）继续插入22,97,41

 

（3） 继续插入53

调整：插入后的节点超过了最大允许的关键字的个数4，所以以key值等于41进行分裂，结果如下图所示。分裂后当前节点指向父节点，满足B树条件，插入操作结束。特别的说明：当阶数m为偶数时，需要分裂时就不存在排序恰好在中间的key，那么我们选择中间位置的前一个key或中间位置的后一个key为中心进行分裂即可。

 

 （4）依次插入13,21,40 

 调整：

 （5）插入30，27, 33

 调整后：

 

 插入36，35，34 ；

插入24 29

 

 （5）依次插入26 

 

 

 

在实现B树的代码中，为了使代码编写更加容易，我们可以将结点中存储记录的数组长度定义为m而非m-1，这样方便底层的结点由于分裂向上层插入一个记录时，上层有多余的位置存储这个记录。同时，每个结点还可以存储它的父结点的引用，这样就不必编写递归程序。

一般来说，对于确定的m和确定类型的记录，结点大小是固定的，无论它实际存储了多少个记录。但是分配固定结点大小的方法会存在浪费的情况，比如key为28,29所在的结点，还有2个key的位置没有使用，但是已经不可能继续在插入任何值了，因为这个结点的前序key是27,后继key是30,所有整数值都用完了。所以如果记录先按key的大小排好序，再插入到B树中，结点的使用率就会很低，最差情况下使用率仅为50%。

 

第四部分：B树的删除

删除操作是指，根据key删除记录，如果B树中的记录中不存对应key的记录，则删除失败。

1.  如果当前删除的key位于非叶子节点上，则用后继key（后继记录）覆盖要删除的key(就是用直接后继节点的值替换要删除的key)，，然后在后继子枝中删除该后继key。此时后继key一定位于叶子节点上[问：这个直接后继节点是叶子节点么？？？，验证：一般取其中序遍历的直接前驱或者后继作为替换节点，直接后继就是当前节点先往右走，再一直往左走，直到叶子节点的过程 这个叶子节点就是直接后继。]，这个过程和二叉搜索树删除节点的方式类似。删除之后要进行第2步
2. 该节点key个数大于等于Math.ceil(m/2.0)-1（查看是否满足B树的结构条件：满足节点最少的情况 以5阶为例，则其最少个数为2），如果满足则结束删除操作，否则执行第3步。
3. 再查看其兄弟节点key个数大于Math.ceil(m/2.0)-1，则父节点中的key向下移动到该节点，兄弟节点中的一个key向上移，删除操作结束。（向父亲借一个节点，导致父亲少一个不满足原来的B树条件，再向兄弟节点key个数大Math.ceil(m/2.0)-1的借一个，即可满足自身条件，兄弟节点也满足条件）

否则将父结点中的key下移与当前结点及它的兄弟结点中的key合并，形成一个新的结点。原父结点中的key的两个孩子指针就变成了一个孩子指针，指向这个新结点。然后当前结点的指针指向父结点，重复上第2步。（这个时候子节点已经不够分了，只有向父节点借一个节点，这样可使当前删除位置的节点满足最少节点条件，但是父节点少了一个 就使得其子树个数减少一个，那么我们需要将当前节点和子树合并，检查合并后，是否满足最少节点的条件，满足则结束 否则继续上述类似操作）

有些结点它可能即有左兄弟，又有右兄弟，那么我们任意选择一个兄弟结点进行操作即可。

示例

（1）原始B树

(2)删除21

 删除后结点中的关键字个数仍然大于等于2，所以删除结束。

（3）在上述情况下接着删除27。从上图可知27位于非叶子结点中，所以用27的前驱替换它。从图中可以看出，27的直接前驱为26，我们用26替换27，然后在26（原27）的右孩子结点中删除26。删除后的结果如下图所示。

 （4）在上述情况下接着删除32，结果如下图。

当前结点key的个数满足条件，故删除结束。

---

 

 （5）删除40

 合并后结点当前结点满足条件，删除结束。