高数-不定积分

原函数和不定积分的概念

如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x)。即对任一x∈I,都有：
F'(x)=f(x) 或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就成为f(x)在区间I上的原函数“,例如：
∵sin’(x)=cos(x),∴sinx是cosx的一个原函数
表达式：∫f(x)dx=F(x)+C
注：连续函数一定有原函数

基本积分表

∫kdx=kx+C(k为常量)
∫x^udx=x^u/(u+1)+C(u≠1)
∫dx/x=ln|x|+C
∫dx/(1+x²)=arctanx+C
∫dx/√(1-x²)=arcsinx+C
∫cosxdx=sinx+C
∫sinxdx=-cosx+C
∫dx/cos²x=∫sec²xdx=tanx+C
∫dx/sin²x=∫csc²xdx=-cotx+C
∫secxtanxdx=secx+C
∫cscxcotxdx=-cscx+C
∫e^xdx=e^x+C
∫a^xdx=a^x/lna+C

示例

∫√x(x²-5)dx=∫x^5/2dx-∫5x^1/2dx=2/7x^7/2- 10/3x^3/2+C
∫(x-1)³/x²dx=∫xdx-∫3dx+∫3/xdx-1/x²dx=x²/2 -3x - 3lnx + 1/x+C
∫(e^x-3cosx)dx=e^x-3sinx+C
∫tan²xdx=∫(sec²x-1)dx=tanx-x+C

第一类换元法

定理1：设f(u)具有原函数,u=φ(x)可导，则有换元公式：
∫f[φ(x)]φ'(x)dx=∫[f(u)dx]，u=φ(x)

示例

∫2cos2xd(x)=∫-2*cos2x/2d(x)=-sin2x+C (设u=2x,则：d(u)=2d(x),d(x)=d(u)/2)

∫x²/(x+2)³d(x)
=∫(u-2)²/u³d(x)
=∫u^-1d(u)-4∫u^-2d(u)+4∫u^-3d(u)
=ln(u)+4u^-1-2u^-2+C
=ln|x+2|+4(x+2)^-1-2(x+2)²+C (设u=x+2,则：d(u)=d(x))