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计算机应用基础--计算方法基础

正交矩阵 4 矩阵的基本变换 X=B-1AB Q*Q=I, 且QQ*=I Q=orth(A) >> A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1]; Q=orth(A) >>norm(Q'*Q-eye(3)) ans = 1.0140e-015 【例2-6】 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的正交矩阵 4 14 15 1 4 矩阵的基本变换 4 矩阵的基本变换 一 矩阵的QR分解 A=Q*R A 为非奇异矩阵，Q 为正交矩阵，R为上三角矩阵，调用格式： [Q,R]=qr(A) 【例2-6】 >> A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1]; [Q,R]=qr(A) 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的QR分解 4 14 15 1 4 矩阵的基本变换 二 矩阵的三角分解 A=LU 其中 4 矩阵的基本变换 【例2-7】 >> A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1]; [V,D]=lu(A) V = 1.0000 0 0 0 0.3125 0.7685 1.0000 0 0.5625 0.4352 1.0000 1.0000 0.2500 1.0000 0 0 D = 16.0000 2.0000 3.0000 13.0000 0 13.5000 14.2500 -2.2500 0 0 -1.8889 5.6667 0 0 0 0 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的LU分解 4 14 15 1 4 矩阵的基本变换 三 矩阵的奇异值分解 ATA>=0, AAT>=0 其中A为任意的nxm矩阵 理论上有 rank(ATA)=rank(AAT)=rank(A) 奇异值定义 其中?i为非负特征值 4 矩阵的基本变换 奇异值的计算： s=svd(A) 【例2-8】 >>A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1] [U, S, V]=svd(A) 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的奇异分解 4 14 15 1 4 矩阵的基本变换 矩阵分解 qr(A)： 矩阵的QR分解 lu(A)： 矩阵的LU分解 eig(A)： 求特征值和特征向量 svd(A)： 矩阵的奇异值分解 chol(A)：矩阵的Cholesky分解(A=T’*T，T为正定上三角矩阵) 4 矩阵的基本变换 5 符号运算 Matlab 提供了一种符号数据类型，相应的运算对象成为符号对象， Matlab符号运算功能集中在符号工具箱(symbolic toolbox)。 符号表达式可以代表数字、函数和变量的Matlab字符串或字符串数组，它不要求变量要有预先确定值。 符号对象： sym 或syms函数用于建立单个和多个符号变量。 f=sym(expr) % 表达式expr转换为符号对象 syms(‘arg1’,’arg2’,