UOJ #104. 【APIO2014】Split the sequence 斜率优化dp

最新推荐文章于 2020-08-04 22:56:48 发布

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本文介绍了一种关于非负整数序列分割的游戏算法。通过分析如何将序列最优地分割成多个部分来最大化得分，探讨了使用动态规划和斜率优化等技术实现高效求解的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

你正在玩一个关于长度为 n 的非负整数序列的游戏。这个游戏中你需要把序列分成 k+1个非空的块。为了得到 k+1块，你需要重复下面的操作 k次：

选择一个有超过一个元素的块（初始时你只有一块，即整个序列）
选择两个相邻元素把这个块从中间分开，得到两个非空的块。
每次操作后你将获得那两个新产生的块的元素和的乘积的分数。你想要最大化最后的总得分。

分析

首先这道题你如果确定了从哪里分开的话，分开的顺序是不用管的
于是只要考虑选哪些点后面成一组就好了

f [i] [k] = m a x (f [j] [k - 1] + (s u m [i] - s u m [j]) (s u m [n] - s u m [i]))

$f[i][k] = max(f[j][k-1] + (sum[i]-sum[j])(sum[n]-sum[i]))$
然后考虑怎么优化这个式子，一个是超哥线段树，一个是斜率优化,继续分析一波

j > p

$j>p$

f [j] [k - 1] + (s u m [i] - s u m [j]) (s u m [n] - s u m [j]) > f [p] [k - 1] + (s u m [i] - s u m [p]) (s u m [n] - s u m [i])

$f[j][k-1] + (sum[i] - sum[j]) (sum[n]-sum[j]) > f[p][k-1] + (sum[i] - sum[p]) (sum[n]-sum[i])$
这个时候p要舍弃

f [ j ] [ k - 1 ] - f [ p ] [ k - 1 ] s u m [ j ] - s u m [ p ] > s u m [n] - s u m [i]

$\frac{f[j][k-1] - f[p][k-1]}{sum[j]-sum[p]} > sum[n]-sum[i]$
发现横坐标是递增的，直接上斜率优化就行了，右边的东西是递减的，证明要维护斜率递减
可能前缀和相减有0的情况，+个eps即可

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ldb;
const ll N = 100010;
const ldb eps = 1e-12;
inline ll read()
{
  ll p=0; ll f=1; char ch=getchar();
  while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
  while(ch>='0' && ch<='9'){p=p*10+ch-'0'; ch=getchar();}
  return p*f;
}

ll n,k; ll a[N];
ll sum[N]; ll f[2][N],pre[201][N]; ll now = 1;

ll q[N],head,tail;

ldb slop(ll x,ll y)
{
  return (ldb)(f[now][x] - f[now][y]) / (ldb)(sum[x] - sum[y] + eps);
}

int main()
{

  n = read(); k = read();
  for(ll i=1;i<=n;i++) a[i] = read();

  for(ll i=1;i<=n;i++) sum[i] = sum[i-1] + a[i];

  memset(f[now] , 0 , sizeof(f[now]));

  for(ll i=1;i<=k;i++,now^=1)
  {
    memset(f[now^1] , 0 , sizeof(f[now^1]));
    head = 1; tail = 1; q[head] = i-1;
    for(ll j=i;j<=n;j++)
    {
      ldb sl = slop(q[head] , q[head+1] );
      while(head < tail && slop(q[head] , q[head+1] ) >= sum[n] - sum[j]) head++;
      while(head < tail && slop(q[tail-1] , q[tail] ) <= slop(q[tail] , j ) ) tail--;
      f[now^1][j] = max(f[now^1][j] , f[now][q[head]] + (sum[j] - sum[q[head]]) * (sum[n] - sum[j]));
      pre[i][j] = q[head];
      q[++tail] = j;
      //printf("%lld : %lld\n",f[now^1][j],q[head]);
    }//printf("\n");
  }

  ll mx = -LLONG_MAX; ll p = 0;
  for(ll i=k;i<=n;i++) if(f[now][i] > mx) mx = f[now][i],p = i; printf("%lld\n",mx);
  for(ll i=k;i>=1;i--) printf("%lld%c",p," \n"[i==1]) , p = pre[i][p];
  return 0;
}