算法中的动态规划之背包问题

1. 背包问题案例

贼，夜入豪宅，可偷之物甚多，而负重能力有限，偷哪些才更加不枉此行？

好，我们把它抽象化一些

给定一组多个（n）物品，每种物品都有自己的重量（Wi）和价值（Vi），在限定的总重量/总容量（C）内，选择其中若干个（也即每种物品可以选0个或1个），设计选择方案使得物品的总价值最高。

5kg的袋子

物品：物品只有一个，且不能拆分。

钱：6  10  12

Kg：1   2    4

我们把5kg袋子拆分成1kg 1kg这样的来计算，每个格子的意思就是当前袋子在这个容量下能装的最大价值。行表示每次加的物品

	1kg	2kg	3kg	4kg	5kg
加第一个物品	6	6	6	6	6
加第二个物品	6（第二个装不下，去上面第一个）	10	16 10（还剩1kg）	16	16
加第三个物品	6	10	16	16	18

第二个进来时，如果此时袋子为2kg，我们知道在第一个物品进来时，2kg最多能装6块钱。，这时候如果我们选择装第二物品那么袋子里面的钱为10块，然后剩余0kg，那么物品1就不能装了。然后发现10块大于袋子里面原来的6快，所以我们选择装第二个 丢掉第一个。

第三个物品进来，如果此时袋子为5kg，我们如果选择加第三个物品，那么袋子容积还剩1kg，能得12块，我们找到上一列1kg袋子的最大价值，为6，所以总的为18.

 

2. 背包问题的 Java 代码实现

package com.example.springboot1.duigui;

/*
 *   @author Dongxu Hua
 *   @date 2019/8/19 16:06
 */
public class DP {

	public static void main(String[] args) {
		int value[] = {60,100,120};		//每个物品的钱
		int weight[] = {15,20,40};		//每个物品的重量 和上面的一一对应
		int w = 50;	//袋子的容积
		int n = 3;	//物品的个数
		int dp[][] = new int[n+1][w+1]; 	//表示分割成一个小表格

		for(int i = 1; i<=n ;i++) {		//表示物品往里面加
			for(int cw = 1; cw <= w; cw ++) {	//袋子在每一个容积下所装的最大的钱
				if(weight[i - 1] <= cw) {		//表示这个物品可以装
					dp[i][cw] = Math.max(
						value[i-1]+dp[i-1][cw-weight[i-1]],		//我装新加的物品
						dp[i-1][cw]		//我不装这个新加的这个物品
					);
				}else {
					dp[i][cw] = dp[i-1][cw];		//新加的这个装不下 ，那么就取前一个物品装值
				}
			}
		}
		System.out.println("袋子能装的最大价值:" + dp[n][w]);
	}

}

 代码执行结构如下:

袋子能装的最大价值:160

Process finished with exit code 0