CF958B2. Maximum Control (medium) 树形dp/树的直径+贪心

原题:http://codeforces.com/contest/958/problem/B2

题解:这题本质上是一个dp。通过分析可以发现当只放1个时答案为1，只放两个时为树的直径，现在考虑放三个的时候，应该在剩下的树上找一条较长的链。可以得到一个策略：只要给一颗树，这个选择的顺序就是确定的，就是找树上不重叠链的长度的降序排序。这个结论为什么是正确的，给出一种很fake的证明：

用数学归纳法证明：

1. 当只放2个的时候肯定是树的直径
2. 考虑放n成立，开始在再1个时需要在剩下没有被访问的节点中找一条最长的链，这是很显然的

考虑怎么求这些链，先找出直径，记录一个每个节点最深的儿子son[x]，很明显每个节点只会在1条链上，记f[x]表示以x为根最长的链长很明显有dp的方程：

• f[x]=f[ son[x] ] + 1
• 对于那些不是son[x]的to他们就是新链的长度，加到数组里，当然别忘加树的直径

 

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N=1e5+10; 

struct E{int to,nxt;}data[N<<1];
int len=1,n,h[N],dep[N],f[N],q[N],son[N];
bool v[N];
int rt,cnt,S,T,ans;
inline int rd(){
	int x=0;int f=1;char s=getchar();
	while(!isdigit(s)) f=(s=='-'?-1:f),s=getchar();
	while(isdigit(s)) x=(x<<1)+(x<<3)+s-'0',s=getchar();
	return x*f;
}
inline void ins(int x,int y){
	data[++len].to=y;data[len].nxt=h[x];h[x]=len;
	data[++len].to=x;data[len].nxt=h[y];h[y]=len;
}
void dfs(int x,int fa){
	dep[x]=dep[fa]+1;
	for(int i=h[x];i;i=data[i].nxt){
		int y=data[i].to;if(y==fa) continue;
		dfs(y,x);
	}
	if(dep[x]>dep[rt]) rt=x;
	return ; 
} 
void dfs1(int x,int fa){//求树形dp 
	for(int i=h[x];i;i=data[i].nxt){
		int y=data[i].to;if(y==fa) continue;
		dfs1(y,x);
		if(f[y]>f[son[x]]) son[x]=y;
	}
	f[x]=f[son[x]]+1;
	for(int i=h[x];i;i=data[i].nxt){
		int y=data[i].to;if(y==fa) continue;
		if(y!= fa && y!=son[x]) q[++cnt]=f[y]; 
	}
} 
bool cmp(int x,int y){return x>y;}
int main(){
	n=rd();printf("%d ",1);
	if(n==1){return 0;}
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x=rd();int y=rd();
		ins(x,y);
	} 
	rt=0;dep[0]=0;f[0]=0;
	dfs(1,0);//printf("%d\n",rt);
	dfs1(rt,0);	q[++cnt]=f[rt];
	sort(q+1,q+cnt+1,cmp);
	ans=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(i-1<=cnt) ans+=q[i-1];  
		printf("%d ",ans);
	}
	return 0;
}