noip2013货车运输（重构树+LCA）

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LCA &RMQ

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针对货车运输问题，本文介绍了一种算法，通过构建最大生成树并优化查询过程，解决货车在给定城市网络中寻找最大载重路径的问题。算法考虑了城市间的双向道路及其限重，确保货车能在不超过限重的情况下，找到从起点到终点的最大载重。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

【问题描述】
A 国有 n 座城市，编号从 1 到 n，城市之间有 m 条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制，简称限重。现在有 q 辆货车在运输货物，司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下，最多能运多重的货物。
【输入文件】

第一行有两个用一个空格隔开的整数 n，m，表示 A 国有 n 座城市和 m 条道路。

接下来 m 行每行 3 个整数 x、y、z，每两个整数之间用一个空格隔开，表示从 x 号城市到 y 号城市有一条限重为 z 的道路。注意：x 不等于 y，两座城市之间可能有多条道路。

接下来一行有一个整数 q，表示有 q 辆货车需要运货。

接下来 q 行，每行两个整数 x、y，之间用一个空格隔开，表示一辆货车需要从 x 城市运输货物到 y 城市，注意：x 不等于 y。

【输出文件】

输出共有 q 行，每行一个整数，表示对于每一辆货车，它的最大载重是多少。如果货车不能到达目的地，输出-1。

输出

样例输入

样例输出

3
-1
3

提示

对于 30%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 10,000，0 < q < 1,000；

对于 60%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 50,000，0 < q < 1,000；

对于 100%的数据，0 < n < 10,000，0 < m < 50,000，0 < q < 30,000，0 ≤ z ≤ 100,000。

题解：

对于给定的(u,v) 求u->v路径上的最小值使其最大。对于多个重边，我们应该取它最大的一个，换句话说，这种边可以删去。

注意到m很大，必定有很多重边。要保持其连通性，还要最大化答案，我们可以求一个最大生成树，化简图。

这样就很明朗了，我们定 1 为根节点，对于一组查询（u,v）u->LCA(u,v)<-v路径上的最小值。有点类似于RMQ的求解过程。

注意细节！！！可能有多颗树！！！

然而我用优化读入被卡掉了一个点。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=110000;
const int MAXM=550000;
const int M=20;
struct node{int x,y,w;}a[MAXM];
struct E{int u,v,w,next;} mm[MAXM<<1]; 
int n,m,q,cnt,h[MAXN],len,sum[MAXN][M],fa[MAXN][M],f[MAXN],dep[MAXN],vis[MAXN];

inline int rd(){
	int x=0;int f=1;char s=getchar();
	while(s>'9' || s<'0') if(s=='-')f=-1,s=getchar();
	while(s>='0' && s<='9')x=x*10+s-'0',s=getchar();
	return x*f;
}
inline void ins(int u,int v,int w){
	++len;
	mm[len].u=u;mm[len].v=v;mm[len].w=w;mm[len].next=h[u];h[u]=len;
}
bool cmp(node a,node b){
	return a.w>b.w;
}
int getfa(int x){
	if(f[x]==x) return x;
	else return f[x]=getfa(f[x]); 
} 
void dfs(int x,int f){
	fa[x][0]=f;dep[x]=dep[f]+1;vis[x]=1;
	for(int k=h[x] ; k;k=mm[k].next){
		int v=mm[k].v;int w=mm[k].w;
		if(v!=f){
			sum[v][0]=w;
			dfs(v,x);
		}
	}
}
int LCA(int x,int y){
	if(dep[x]< dep[y]) swap(x,y);
	int ans=1e18;
	for(int j=M-1;j>=0;j--){
		if(dep[fa[x][j]] >= dep[y]) ans=min(ans,sum[x][j]),x=fa[x][j];
	}
	if(x==y) return ans;
	for(int j=M-1;j>=0;j--){
		if(fa[x][j] != fa[y][j]){	
			ans=min(ans,sum[x][j]);ans=min(ans,sum[y][j]);
			x=fa[x][j];y=fa[y][j];
		}
	}
	ans=min(ans,sum[x][0]);ans=min(ans,sum[y][0]);
	return ans;
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin); 
//	n=rd();m=rd();
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++){
	//	a[i].x=rd(),a[i].y=rd(),a[i].w=rd();
		scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].w);
	}
	sort(a+1,a+m+1,cmp); len=cnt=0;memset(h,0,sizeof h);
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
	for(int i=1,aa,bb;i<=m;i++){
		aa=getfa(a[i].x);bb=getfa(a[i].y);
		if(cnt==n-1) break;
		if(aa!=bb){
			f[aa]=bb;cnt++;
			ins(a[i].x,a[i].y,a[i].w);ins(a[i].y,a[i].x,a[i].w);
		}
	}
	memset(sum,0x3f,sizeof sum);dep[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!vis[i]) dfs(i,0);
	}
	for(int j=1;j<M;j++)
		for(int i=1;i<=n;i++){
			fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
			sum[i][j]=min(sum[i][j-1] ,sum[fa[i][j-1]][j-1]);
		} 
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1,u,v,aa,bb;i<=q;i++){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		aa=getfa(u);bb=getfa(v);
		if(aa!=bb) printf("-1\n");
		else{
			printf("%d\n",LCA(u,v)); 
		}	
	}
	return 0;
}