原根算法C语言,算法导论-----数论-----元素的幂

1.为a反复相乘生成

的子群，

(a)为a在

中的阶，phi为

规模

2.欧拉定理：对n>1,

=1(modn),对所有a属于

成立

3.费马定理：p素数，,

=1(modp) 对所有a属于

成立

4.原根：

(g)=|

|,对模n，

每个元素都是g的幂，g是

的原根或生成元

若

包含一个原根，则

循环群

5.对所有素数p>2和正整数e，满足

循环群n的值为2,4，

6.离散对数：g是

中的原根，a是

中任一元素，存在z使,

=a(modn),z称为离散对数,即

7.离散对数定理：g是

原根，则

=

(modn)成立，当且仅当x=y(modφ(n))成立

8.p 是奇素数且e>=1,则方程

仅有两个解，x=1和x=-1

证明：

因为

，所以必有原根，设n=

,

=

(modn),

)=

=0(modφ(n))

φ(n)=(p-1)

,gcd(2,

)=2,d=2,且0|2，有两个解，1，-1.

9.平凡平方根：1，-1

10.模n存在1的非平凡平方根，n是合数

11.反复平方法求数的幂(c无用)，所需位操作次数O(

) β为位数

注：下面代码多乘一个a的原因：

举例：a^10=a^5*a^5

a^5=a^2*a^2*a

MODULAR-EXPONENTIATION(a,b,n)

{

c =0;

d =1;

letbe the binary represention of b;

for(i from k down to 0 )

c=2c;

d=(d*d)modn;

if(bi==1)

c=c+1;

d=(d*a)modn;

return d;

}

c语言的两种写法

1.递归

__int64 exp_mod(__int64 a, __int64 n, __int64 b)

{

__int64 t;

if(n==0) return 1%b;

if(n==1) return a%b;

t=exp_mod(a,n/2,b);

t=t*t%b;

if((n&1)==1) t=t*a%b;

return t;

}

2.递推

__int64 modexp(__int64 a,__int64 b,__int64 n)

{

__int64 ret=1;

__int64 tmp=a;

while(b)

{

//基数存在

if(b&0x1) ret=ret*tmp%n;

tmp=tmp*tmp%n;

b>>=1;

}

return ret;

}