1.汽车站的设计

题目抽象：

一个有向图有n个点(n<=50),g条边(g<=4000)。现在要求删掉最少的点，使得不存在从1号点到n号点的长度<=m的路径(m<1000)。当然，不能删除1号点或者n号点，输出最少需要删除的点数(删除一个点的时候会连带将与之相连的边也删除)。

解题思路：

最朴素的搜索方法是枚举所有删除点的方案，每找到以一种方案，就求一次从1号点到n号点的最短路径，看看长度是否超过m，每个点有删除和不删除两种状态，所以方案总数最多就是2^48种，这样搜索非常盲目，显然会超时。

解决的方法是有选择的进行删点。基本思路就是，一条长度不超过m的最短路径上的点，至少有一个点是要被删掉的（至于删除哪个，可以枚举尝试），删掉一个点后再重新求最短路径，如果新求出的最短路径长度仍然不超过m，那么就在新的路径上再找出一个点删掉，然后再求最短路径，重复以上方法直到求出的最短路径长度超过m，那么就找到了一个解。但这个解未必就是最优解，所以这里用递归的方法搜索了多组解进行对比求出最优解。递归步骤如下：

1.寻找起点到终点的最短路径，如果最短路径长度超过m，则表示已经找到一种删除方案，记录该方案下的删除点数目。回溯再找出下一种方案。否则进入下一步。

2.枚举最短路径中的除1号点和n号点外的某一个点，将其删除。

3.回到1递归继续搜索。

这样的搜索使得枚举的点的数量得到控制。搜索的每一层都会从n-2个点中选择一个进行删除，在上述方法中，还可以用迭代加深的方法来搜索，也就是说，先找到删除1个点的方案，看是否存在；如果不存在，则再找到删除2个点的方案；......

#include<iostream>

using namespace std;

const int maxm=10005;//最大边数

const int maxn=105;//最大点数

struct aaa

{

int s,f,next;//邻接表的域，s表示边的起点，f表示边的终点，next指向点s的下一条边

}；

aaa c[maxm];//图的领接表

int sta[maxn],fa[maxn],zh[maxn];//程序中使用邻接表保存图中的边，sta数组为每个点的邻接表表头指针，c数组储存了每条边。fa数组和zh数组用于广搜最短路径。其中zh数组为广搜使用的队列，fa数组保存了广搜的路径，fa[i]表示i节点的父亲。

int d[maxn][maxn],e[maxn];//d数组保存了当前搜索到的最短路径，d[i,j]表示搜索的第i层(第i次寻找最短路径)中寻找到的最短路中的第j个点的编号

bool b[maxn];

int n,m,now,tot;//now用于建邻接表时的累加，tot为迭代加深搜索的“界”

bool goal；//表示是否搜到了满足要求的界（不删除超过tot个点的解），如果找到了则goal=true，搜索退出

 

void ins(int s,int f)//这里记录每条边的起始点还有终点，并且记录好具有相应起始点的邻接表指针

{

now++;

c[now].s=s;

c[now].f=f;

c[now].next=sta[s];//一开始指向的指针为0，但是随着同一个起始点的多条边的累加now,next会指向相应c数组的下标位置

sta[s]=now;//指向该s起点的最后一条边的相应下标

}

 

void bfs()//其实这里个广搜寻找最短路径是建立在点与点之间的步数上的，就是说，如果起点到终点之间要经过两个点，而另外一条路径要经过三个点，那么就说经过两个点的比较近，也就是最短

{

int i,cl,op,k,t;

cl=0;op=1;

for(i=1;i<=n;i++) fa[i]=0;//清空所有父节点

zh[1]=1;//队列的起点为第一个点

fa[1]=-1;//默认根节点的父节点为-1

while(cl<op)//这里的循环本来追求的是遍历所有图中的点

{

cl++;k=zh[cl];//一开始zh储存的是第一个点，然后通过后面的遍历该点的所有边，并将所有起点为第一个点的边的终点记录下来，所以每次进行这一步时，就是轮到另一个点进行遍历所有边

for（t=sta[k];t;t=c[t].next）//由于sta数组记录的是具有共同起始点的边的领接表，且数值上等于最后一个结构边的下标，然后这里的t没有写关系式，默认就是等于0的时候跳出，然后每次循环后，由于c[t].next记录的是有共同起始点的另一条结构边的下标，所以通过这个可以将具有共同起始点的所有边都遍历完

if(b[c[t].f]&&fa[c[t].f]==0)//首先这里的b数组都是true，然后这里fa[c[t].f]是求该边的终点的父节点，其实这里得到的就是该边的起点，也就是说要保证该终点只有一个父节点，方便后期获得整条最短路径，记录了整个路径的点。同时这里说其为0也是为了避免两条边有共同的终点时对父节点造成影响，避免了这种情况的出现，使得每一个点有且只能出现一次记录父节点

{

op++.zh[op]=c[t].f;fa[c[t].f]=c[t].s;//队列记录终点，父节点记录边的起始点

if（c[t].f==n） break;//每次都要检验一下是否已经到达终点n，此时用的步数肯定是最少的，没有的话就继续循环，有的话就退出循环

}

if（fa[n]） break;//发现终点n已经被找到了，也就是有父节点可以到达，就再跳出最外层循环。

}

}

 

void dfs(int deep)//深搜找到一组删除点数不超过tot的解

{

int i,cl,op,l,k;

if(goal) return;

bfs();//广搜寻找最短路径

if（fa[n]==0)//这里是一种无可奈何的选择，发现了其中的最短路径就是从第一个点到终点n，所以如果这两点之间的距离超过m，那就成立，不用删除任何点，但是如果两点之间的距离小于m，那也没办法，还是要输出，因为这两点都不能删除，也就是说一定会存在最短距离小于m的

{

goal=true;

return;

}

l=0;

for(k=n;k>1;k=fa[k])//通过这里的循环，将每次得到的最短路径的路径节点记录在d[maxn][maxn]中，当然，第一点没有进行记录

{

l++;d[deep][l]=k;//其实仔细一想也可以知道，这里的l记录的就是从起始点到终点n的行进步数

}

if（l>m）//如果此时行进步数大于要求的最小步数m，就直接返回，说明此时删除的点数满足题意

{

goal=true;

return;

}

if (deep>tot) return;//避免删除的点数超过规定的界，也就是说规定删除的点的个数

for (i=2;i<=l;i++)//遍历d[maxn][maxn]中从除n外的点进行按删除点数来进行删除，比如第一轮做删除一个点时，分别尝试去掉最短路径中记录的所有点中的一个，看是否满足题意，如果不满足，则跳出循环，增加界tot，进行删除两个点，由代码可知，在原来删除一个点的基础上得到最短路径再进行删除第二个点，满足题意就跳出得到结果，依次进行下去得到结果。

{

b[d[deep][i]]=false;//这里就是去掉最短路径中一个点，将其设置为false，那么在后期进行dfs时，由于要求b为true时才可以利用该点，现在该点不能用

if(e[d[deep][i]]==0) dfs(deep+1);//这里检验e数组是为了避免同一情况的出现，比如第一个删除第二个点，第二次删除第三个点，然后情况二时第一次删除第三个点，第二次删除第二个点，这样就会重复浪费时间。然后通过dfs记录删除这一个点后的最短路径

b[d[deep][i]]=true;//将该点变为可用，这样就可以进行下一个点的删除实验

e[d[deep][i]]++;//该点已经尝试过的就要进行标记，防止重复实验

}

for (i=2;i<=l;i++) e[d[deep][i]]--;//这里是一个很有趣的设计，由于深度搜索进行删除后，如果某一次深度很大时，这样就会有很多点被标记了，那么后期进行下一轮尝试，也就是在for（i=2;i<=l;i++）这一轮循环中不好进行，没办法进行很完整的深度搜索dfs，所以这里将没能成功深度搜索后得到结果的那些浪费的点通过减1变成可以利用的点，这样就可以继续进行下次深度

}

 

int make()

{

int i,j;

goal=false;//作为一个标志，当goal为true时，输出

for（i=0;i<=n;i++）//每次将“界”增加1，看是否存在解

{

tot=i;

for(j=1;j<=n;j++)

b[j]=true;

memset(e,0,sizeof(e));//同下所示，都是将e数组的值初始化为0

dfs(1);//进行深搜

if(goal) return i;//如果发现goal已经标记为true，就说明此时删除的点数i符合题意

}

return n；//遇到这种情况就可以开心的选择放弃了，没有符合的

}

 

int main（）

{

int i,s,f,g;

while(true)

{

cin>>n>>g>>m;//其中n表示点数，g表示边数，m表示从1点到n点的长度最少满足m

if(n==0) break;

memset(sta,0,sizeof(sta));//void *memset(void *s,int ch,size_t n);将 s 中前 n 个字节用 ch 替换并返回 s ,这里将sta初始化为0

now=0；

for(i=1;i<=g;i++)

{

cin>>s>>f;//根据上边输入的边数，这里输入每条边相应的起点还有终点

ins(s,f);//根据输入的起点还有终点来建立边的邻接表

}

g=make();//make函数为迭代加深的主干，递增搜索的深度，一旦找到解就退出

cout<<g<<endl;

}

}