数据结构与算法之二分查找

假设我们有1000万个整数数据，每个数据占8个字节，如何设计数据结构和算法，快速判断某个整数是否出现在这1000万数据中？我们希望这个功能不要占用太多的内存空间，最多不要超过100M，你会怎么做？

无处不在的二分思想

二分查找时一种非常简单易懂的快速查找算法，生活中到处可见。比如说，我们现在来做一个猜字游戏。我随机写一个0到99之间的数字，然后你来猜我写的是什么。猜的过程中，你每猜一次，我就会告诉你猜的大了还是小了，直到猜中为止。

二分查找针对的时一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到查找的元素，或者区间被缩小为0。

二分查找的递归与非递归实现

二分查找最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素，我们在其中用二分查找值等于给定值的数据。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;

  while (low <= high) {
    int mid = (low + high) / 2;
    if (a[mid] == value) {
      return mid;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      high = mid - 1;
    }
  }

  return -1;
}

现在，着重强调一下容易出错的三个地方：

1. 循环退出条件
   注意low <= high，而不是low < high
2. mid的取值
   实际上mid=（low+high）/2这种写法是有问题的。因为如果low和high比较大的化，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将mid的计算方式写成low+（high-low）/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以2操作转化成位运算low+（（high-low）>>1）。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
3. low和high的更新
   low=mid+1，high=mid-1.注意这里的+1和-1，如果直接写成low=mid或者high=mid，就可能会发生死循环。比如，当high=3，low=3时，如果a[2]不等于value，就会导致一直循环不退出。

实际上，二分查找除了用循环来实现，还可以用递归来实现，过程也非常简单。

// 二分查找的递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
  return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}

private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
  if (low > high) return -1;

  int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] == value) {
    return mid;
  } else if (a[mid] < value) {
    return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
  } else {
    return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
  }
}

二分查找的局限性

首先，二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。

其次，二分查找针对的是有序数据。

再次，数据量太小不适合二分查找

最后，数据量太大也不适合二分查找