拉普拉斯变换公式表_G.Strang的微分方程和线性代数（2.7）拉普拉斯变换

§2.7 拉普拉斯变换

MIT公开课《微分方程和线性代数》2.7 拉普拉斯变换：一阶方程​v.youku.com

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对于微分方程等式右侧的几个重要的输入函数进行总结：

1.指数函数

2.三角函数

3.多项式，从

开始。

4.阶跃函数

5.狄拉克函数

6.以上函数的乘积

以上这些函数很特殊的原因就是，它们的微分和积分函数也就在这个列表中。特别是指数函数

，它的导数也是指数函数本身，并且两个指数函数的乘积仍然是指数函数。余弦函数和正弦函数实际上是复指数函数的一部分。多项式函数的导数仍然是多项式。狄拉克函数的积分是阶跃函数，而阶跃函数的积分是斜坡函数。斜坡函数在

时为0，在

时就等于

t。线性斜坡函数的积分是抛物线斜坡函数，再进行积分就得到三次方。

微分方程代数

对于这些特殊的函数，求解常系数线性微分方程不是很困难。这个问题会降为一个代数问题。方程的零解是指数函数。特解的形式类似于

，而方程将决定待定的系数Y。

拉普拉斯变换给出了一个系统的方法来进行这个代数运算。t 的函数会变成s 函数。求导运算变成了乘法运算

。关于

t的微分方程变成了关于s的代数方程。

方程左侧，当y(0)={y}'(0)=0时，

，

，

。

方程右侧，

，

，

。

拉普拉斯变换包括三个步骤。

一，对每一项进行拉普拉斯变换。二，求解关于s 的方程。三，进行逆变换得到t 的方程。

初值条件y(0),{y}'(0)也会进入到s的形式Y(s)中。而多项式

的零点会变为Y(s)的极点。

例1：

初值条件

。

第一步：

经过拉普拉斯变换得到

。

第二步：

。因此Y(s)有三个极点，即1,3和a。

第三步：逆变换Y(s)得到

。其中参数c1和c2要满足初值条件，而

。

例2：

初值条件

。

第一步：

经过拉普拉斯变换得到

。

第二步：

。

第三步：逆变换Y(s)得到

，即脉冲响应。其中参数s1和s2满足

，它们也是Y(s)的极点。当输入为脉冲函数，则脉冲响应g(t)也就是传递函数。

拉普拉斯变换

我们的第一个表格仅包括最基本的函数。在本书后面部分有Laplace变换更完整的介绍。我们将在此处定义Y(s)，但是Laplace变换的移位规则会在后面。阶跃函数H(t-T)大部分内容都在第8章中。特别是“卷积”在第8.6节，它是乘积Y(s)= F(s)G(s)的逆变换。当f(t)不是像

这样的简单函数，并且F(s)不是像 1/(s-a)这样的简单函数时，我们需要卷积运算。

为了创建Laplace变换表，我们从定义F(s)开始：

第一个函数当然是

。

如果

则该积分将是无限的。因此Laplace变换通常要求s>a，然后积分中的因子

在t趋近无穷时使函数安全地归零。公式中的积分限是从t=0到t=∞，因此对于所有t<0，f(t)=0，即函数直到t=0才会启动。

阶跃函数H(t)和常数函数f=1具有相同的变换！

，

这是

当指数a变为0时的Laplace变换，1/(s-a)变为1/s。

导数的变换

如果y(t)的变换是Y(s)，则导数dy/dt的变换是什么？

导数规则：dy/dt的Laplace变换是sY(s)-y(0)

导数规则显示了初值条件是如何进入Laplace变换的，它不是作为单独的边界条件，而是直接输入到Y(s)的方程中。

同样地，s必须足够大，或更准确地说s的实部必须足够大，以确保在t 趋近无穷时

降为零。

我们可以立即解决第一章的一阶线性方程，Y(s)在两个关键指数s=a和s=c处产生极点：

例3：从任何y(0)开始求解

。

1.将方程变换得到

。

2.解得

。

3.

的逆变换，就是方程的“零解”

。

的逆变换就是方程的特解

。

至此我们在第一章中所做的求解计算已化简至最低限，仅剩下导数规则，指数变换和“部分分式”。这些部分分式是从步骤2到步骤3的代数：将带有两个极点a和c的1/(s –a)(s-c)分为两个带有一个极点的分式。

在例2中我们使用部分分式来找到脉冲响应，在那种情况下，a和c分别为s1和s2。在例1中也使用了部分分式，找到三个极点3，1，a。

部分分式

例1得到Y(s)=1/(s+3)(s+1)(s-a)，但不能一眼看出它的逆变换y(t)。但当将Y(s)分为三项且各有一个极点时，找到y(t)变得很简单，这三个就是部分分式：

三个单独的项，每个带一个极点，它们分别直接对应

三个部分。

正确性可以通过将部分分式乘以（s-3）（s-1）（s -a）来证明。

部分分式理论通常计算C1和C2以及Y：

可以通分，通过匹配

的系数给出C1和C2和Y的三个方程，求解可得：

非常特殊的解

看一下前面的三项分式，其中

是一个特解——来自传递函数和指数响应公式的解。方程为

，则对

的响应为：

这不是一个非常特殊的解，它不是从y(0)=0和y'(0)=0开始的。满足该初值条件的解是来自Laplace的特殊的特解：

任何零解加上一个特解，都给出了另一个特解，而特殊的特解是从静止开始。我们通过调整通解公式中的常数c1和c2以匹配任意的初值y(0)和y'(0)：

通过t=0时刻的y和y'，可以求解c1和c2，这是在时域中工作。而进行方程式变换时，可以使用y(0)和y'(0)来找到Y(s)。

包含y(0)和y΄(0)的变换

我们知道y'的变换是sY(s)-y(0)。要找到二阶导数的变换，使用一阶导数变换规则两次。这将y(0)和y'(0)一起引入。

y"的变换= s(y'的变换)-y'(0)= s(sY(s)-y(0))-y'(0)

现在我们可以完全通过拉普拉斯变换求解方程

：

步骤1 方程转换为

步骤2 得到

解得

步骤3 将Y(s)两部分都求逆变换，得出

。

这看起来更痛苦！Y(s)的后一部分很好，就是我们之前找到的特解。Y(s)的第一部分涉及y(0)和y'(0)，我们必须再次做部分分式。它的分母有两个因子（s-3）（s-1），而不是三个因子。但其实我更愿意通过t=0的初值条件求解两个方程来找到完整解的c1和c2。

共振的变换

本部分讨论的解函数包含

，需要找到它的拉普拉斯变换。

对于

，可能有两种不同的情况出现指数相等：

1（零解）特征多项式的两个根s1和s2相等。

2（特解）

中的指数等于零解中的s1和s2。

在极端的情况下，可能有s1=s2=a，即三个指数相等。则零解为

，特解为

。

已知

的Laplace变换是

，即

。在等式两侧对a求导可得：

。

因此

的拉普拉斯变换就是

，它有两重极点。

再次求导可知

的拉普拉斯变换就是

，它有三重极点。

取极端示例方程y"=2，则有

，

。从初始条件可得c1=y(0)和c2=y'(0)。

通过拉普拉斯变换求解，则对y"和2进行变换可以得到：

，求得

。其逆变换就是

。

三角函数的变换方程

当输入函数

的指数a变为虚数

或者复数

，则通过

以及方程

的线性性质，我们可以得到：

，

，

这些变换出现在弹簧重物组的基本示例中：

步骤1：

变换为

传递函数为

。

步骤2：解得

我们已经准备好进行第3步，但是看起来并不容易。它需要对该Y(s)进行逆变换。质量弹簧问题使我们得到了一个四次方的分母

，需要用部分分式法拆分成两部分。

结果是y(t)包含

和另一个项

。驱动频率为

，而固有频率

来自

。解y(t)中的频率是其Laplace变换Y(s)中的极点

和极点

。

这是来自Laplace变换的重要信息，我们通过移动这些极点来设计系统或网络。通常要将它们很好地分开，以避免不稳定性，然后添加阻尼将

的零点（Y(s)的极点）推离虚轴，进入稳定的Re(s)<0的左半平面。

复根

最后介绍物理系统的最典型情况，具有阻尼且具有振荡。

的根是复数。它们的实部为a =-1，虚部

。我们处于阻尼不足的情况下，可以用两种方式写出

的解：

或者

需要讨论的是拉普拉斯变换后，此问题在s域中是什么样的？

转换为

成为Y(s)的分母，Y的这部分就是传递函数

。分子来自于初值条件：

可以将

分解为

，但我建议不要这样做，那些根s1和s2是复数。

注意到

的Laplace变换是

；

的Laplace变换是

。

可以将

分离为

，则a=-1和ω=2可以满足上面的公式。然后将逆变换组合在一起可得解函数。

Y(s)的分子是线性的，可记为Hs+K。为与变换公式中的分子s-a中的匹配，我们可以将Hs+K拆分为H(s-a)+(K+Ha)，则有：

的逆变换为

对于高阶方程，以及对于具有指数驱动函数f(t)的方程，变换Y(s)包含更高阶的多项式。原则上，部分分式可以化简到1次和2次。它们产生Y(s)的实极和复极，对应y(t)中

的实指数和复指数。而我会首先采用2.6节中的待定系数法求解。

Laplace变换的最大贡献是将注意力集中在传递函数如

及其极点。