第七章 图
图这一章内容很多，所以会分几篇文章记录
7.2 图的定义
图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V, E)，其中G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合
注意的是：
图中的数据元素，我们称之为顶点(Vertex)，而且在图中，我们强调不能没有顶点，定义也中强调了顶点的集合为非空集合。
图中的任意两个顶点都有可能存在关系，逻辑关系使用边来表示，边的集合可以是空集
7.2.1 各种图的定义
无向边：若顶点vi到vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对(vi, vj)来表示。如果图中任意顶点之间的边都是无向边，则整个图就是无向图
有向边：若从顶点vi到顶点vj的边有方向，则称这条边为有向边，也成为弧。弧用有序偶对<vi, vj>来表示，vi称为弧尾，vj称为弧头(有向边箭头所指的方向是弧头，反之是弧尾)。如果图中任意两个顶点之间的边是有向边，则该图是有向图
在图中，若不存在顶点到自身的边，且同一条边不会重复出现，则称这样的图为简单图
下面就不是简单图
无向图中，若任意顶点之间都存在边，则称该图是无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有[n * (n - 1)] / 2条边
下面这张图就是无向完全图
在有向图中，任意两个顶点之间都存在方向弧尾相反的两条弧，则称该图为有向完全图。还有n个顶点的有向完全图中存在n * (n - 1)条弧
有些图的边或者弧具有与他相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权，这些劝可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或者耗费，这种带权的图通常被称之为网
假设两个图G = (V, {E})和G' = (V', {E'})，如果V'属于V，E'属于E，则称G'为G的子图
7.2.2 图的顶点与边间的关系
对于无向图G = (V, {E})，如果边(v, v')属于E，则称顶点v与v'互为邻接点，即v与v'相邻接，边(v, v')依附于顶点v和v'。顶点v的度就是和v相关联的边的数目，记为TD(v)。边数就是各顶点的度数和的一半
对于有向图，以v为弧头的弧的数目称为v的入度ID(v)，以v为弧尾的弧的数目称为v的出度OD(V)，所以顶点v的度TD(v) = ID(v) + OD(v)
图中任意两点之间的路径为该路径上一系列顶点的序列，当然如果是有向图，则路径也是有方向的，注意图中顶点到顶点之间的路径不是唯一的
路径的长度是路径上边或者弧的数目
第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或者环。序列中顶点不重复出现的路径称之为简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或者简单环
下图中的左图就是简单环，右图则不是
7.2.3 连通图相关术语
在无向图中，如果顶点vi到顶点vj之间存在路径，则说明两个顶点是连通的。对于同中的任意两个顶点，如果都是连通的，则说明该图是连通图，无向图中的极大连通子图称之为连通分量
下图中的左图就是非连通图，右图是连通图
在有向图中，任意两个顶点之间都存在路径，则说明该图为强连通图，有向图中的极大强连通子图为有向图的强连通分量
连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中的全部n个顶点，但只足以构成一棵树的n-1条边
如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图，如果多于n-1条边，必定构成一个环。但是有n-1条边，不一定能构成生成树
其实可以想象，如果有n个顶点，每个顶点之间只有一条边，则正好是n-1条边，如果再多一条边，则就存在度为2的顶点，可以构成一个回路
如果一个有向图中存在一个入度为0的顶点，而其他顶点的入度为1，则则是一棵有向树。入度为0的顶点有向树的根结点，其他顶点为树的结点
7.3 图的抽象数据类型
7.4 图的存储结构
图的村树结构有两种，一种是邻接矩阵，另一种是邻接表
7.4.1 邻接矩阵
邻接矩阵存储方式使用两个数组来表示图。一个一维数组存储图的顶点信息。另一个二维数组(邻接矩阵)存储图的边或弧的信息
设图G有n个顶点，则邻接矩阵就是一个n阶的方阵，定义为
举个栗子
上述是一个无向图，其中二维数组就是邻接矩阵，若两个顶点之间存在边，则矩阵总元素为1，否则如果两顶点之间没有边，则元素为0。无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵
从图中我们可以得知：
1、两个顶点之间是否有边
2、计算出某个顶点的度，为该顶点所在行中的元素之和
3、某顶点的邻接顶点就是该顶点所在行中元素为1的顶点比如图中v1的邻接点是v0和v2
我们再来看看有向图的邻接矩阵
我们发现有向图的邻接矩阵并不是对称矩阵，而且顶点vi的入度为第vi列各数之和，顶点vi的出度为第vi行的各数之和
在图的术语中，我们还提到了网的概念，怎么样才能用邻接矩阵讲网中的权值也保存下来呢？
我们假设G是网图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n阶方阵，我们能有如下定义：
其中Wij是vi与vj之间的权值，若两不同顶点之间没有关系，我们就用无穷大来表示，这样可以与权值进行区分
下面我们来看一下邻接矩阵的实现，我因为学的是python，所以用的是python代码来实现，网上基本是c++和java的代码，可以自行查阅
#邻接矩阵的实现
class Graph(object):
#mat是图的二维矩阵的表示
#unconn = 0，表示两顶点之间无边(无联系)
def __init__(self, mat, unconn = 0):
vnum = len(mat) #顶点个数
for x in mat: #判断该二维数组是否为方阵
if len(x) != vnum:
raise ValueError("Argument for 'Graph'.")
self._mat = [mat[i][:] for i in range(vnum)] # 将图方阵进行拷贝
self._unconn = unconn
self._vnum = vnum
def vertex_num(self): #获取顶点个数
return self._vnum
def _invalid(self, v): #判断顶点是否有效
return v >= self._vnum or v < 0
def add_vertex(self): #增加顶点
raise GraphError("Adj-Matrix dose not support 'add_vertex'.")
def add_edge(self, vi, vj, val = 1): #增加边
if self._invalid(vi) or self._invalid(vj):
raise GraphError(str(vi) + "or" + str(vj) + "is not valid vertex.")
self._mat[vi][vj] = val
def get_edge(self, vi, vj): #获取边
if self._invalid(vi) or self._invalid(vj):
raise GraphError(str(vi) + "or" + str(vj) + "is not valid vertex.")
return self._mat[vi][vj]
def out_edges(self, vi): #获取该顶点的出边
if self._invalid(vi):
raise GraphError(str(vi) + "id not valid vertex.")
return self._out_edges(self._mat[vi], self._unconn)
@staticmethod
def _out_edges(row, unconn): #传入一行，该行为一个顶点与其他顶点之间的权值，unconn表示无权值，即两顶点之间无联系
edges = [] #创建列表，存储出边
for i in range(len(row)): #遍历该顶点与其他顶点的权值，如果权值不为0，则将与之相连的顶点和权值组成元组添加至出边列表中
if row[i] != unconn:
edges.append((i, row[i]))
return edges7.4.2 邻接表
邻接矩阵虽然是一种不错的存储结构，但是在某些情况下会造成资源的浪费，比如说下面这种情况
我们发现，邻接矩阵中只有一个元素有权值，对空间造成了极大的浪费，所以我们考虑了邻接表这一形式
我们把链表和数组相结合的存储方法称为邻接表
邻接表的处理方法如下：
1、首先用一个数组存储顶点信息，每个数据元素不仅存储了该顶点的信息，还存储了指向第一个邻接点的指针
2、图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不确定，所以用单链表进行存储如下图所示，adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标
有向图由于是有方向的，我们是以顶点为弧尾来存储边的，这样很容易就可以得到每个顶点的出度
反之，也可以以顶点为弧头来存储边，可以很容易得到顶点的入度
对于带权值的网图，可以在边表节点定义中再增加一个权值的数据域，存储权值信息
#邻接表的实现
#继承了邻接矩阵的out_edge()方法
class GraphAL(object):
def __init__(self, mat = [], unconn = 0):
vnum = len(mat)
for x in mat:
if len(x) != vnum:
raise ValueError("Argument for 'GraphAL'.")
#此时的self._mat描述的是各个顶点的出边，是一个二维矩阵，其中每一个元素都是一个由相邻顶点和其权值组成的元组
self._mat = [Graph.out_edges(mat[i], unconn) for i in range(vnum)]
self._vnum = vnum
self._unconn = unconn
def add_vertex(self): #增加顶点
self._mat.append([])
self._vnum += 1
return self._vunm
def add_edge(self, vi, vj, val = 1): #增加边
if self._invalid(vi) or self._invalid(vj):
raise GraphError(str(vi) + "or" + str(vj) + "is not valid vertex.")
if self._vnum == 0:
raise GraphError("Cannot add edge to empty graph.")
#row为顶点vi与其他顶点之间的权值，是一个一维数组。其元素为由相邻顶点和其权值构成的元组
row = self._mat[vi]
i = 0
#设置i，来遍历vi的所有相邻点
while i < len(row):
#假如没有遍历到vj这个相邻点，则退出循环，在row最后增加该相邻点vj及其权值
if row[i][0] != vj:
break
#假如遍历到vj这个相邻点，直接修改其权值
if row[i][0] == vj:
self._mat[vi][vj] = val
return
i += 1
self._mat[vi].insert(i, (vj, val))
def get_edge(self, vi, vj): #获得边
if self._invalid(vi) or self._invalid(vj):
raise GraphError(str(vi) + "or" + str(vj) + "is not valid vertex.")
#遍历vi的所有相邻点和其权值，分别用i和val保存
#当遍历到vj这个顶点时，返回其权值
#如果没有遍历到vj，返回self._unconn，表示两顶点无联系
for i, val in self._mat[vi]:
if i == vj:
return val
return self._unconn
def out_edges(self, vi): #返回vi顶点的出边
if self._invalid(vi) or self._invalid(vj):
raise GraphError(str(vi) + "or" + str(vj) + "is not valid vertex.")
return self._mat[vi]7.5 图的遍历
从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程叫做图的遍历
7.5.1 深度优先遍历(DFS)与广度优先遍历(BFS)
DFS遍历主要用的是栈,BFS用的是队列
推荐b站大神“正月点灯笼”的详细讲解视频，一看就懂详解DFS和BFS
#深度遍历
def DFS(graph, s):
#graph是图，s是起始点
stack = [] #创建栈，用于存放顶点
stack.append(s)
seen = set() #创建集合，存放已遍历过的顶点
seen.add(s)
while len(stack) > 0: #当栈中存在数据时，取出最后一个数据，直到栈为空栈时停止遍历
vertex = stack.pop()
nodes = graph._mat[vertex] #nodes为vertex相邻点及其权值的集合，是一个一维数组，元素为元组
for w in nodes: #遍历每一个相邻点，如果点还没有遍历，则将该点存入栈中，且存入遍历点集合中
if w[0] not in seen:
stack.append(w[0])
seen.add(w[0])
print(vertex)
#广度遍历
def BFS(graph, s):
#graph是图，s是起始点
queue = [] #创建队列，用于存放顶点
queue.append(s)
seen = set() #创建集合，存放已遍历过的顶点
seen.add(s)
while len(queue) > 0: #当队列中存在数据时，取出第一个数据，直到队列为空队列时停止遍历
vertex = queue.pop(0)
nodes = graph._mat[vertex] #nodes为vertex相邻点及其权值的集合，是一个一维数组，元素为元组
for w in nodes: #遍历每一个相邻点，如果点还没有遍历，则将该点存入队列中，且存入遍历点集合中
if w[0] not in seen:
queue.append(w[0])
seen.add(w[0])
print(vertex)
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