剑指Offer（47）礼物的最大价值-优快云博客

这篇博客探讨了一个在m*n棋盘上收集最大价值礼物的问题。通过两种方法，一是暴力递归，二是动态规划，来寻找最优路径。动态规划解决方案通过创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示到达棋盘位置(i, j)的最大价值。最终返回dp[m-1][n-1]作为答案。这种方法避免了暴力递归的超时问题，有效地解决了问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

礼物的最大价值

描述

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。

你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。

给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1

输入
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出
12
解释

路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示

0 < grid.length <= 200

0 < grid[0].length <= 200

方法一：暴力求解

递归直接暴力求解，可惜超时了

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        return recur(grid,0,0);
    }

    public int recur(int[][] grid, int i, int j) {
        if (i==grid.length-1 && j==grid[0].length-1) return grid[i][j];//如果已经达到了棋盘右下角，结束递归
        if (i==grid.length-1) return grid[i][j]+recur(grid,i,j+1);//如果已经到了棋盘的底边界并且还未结束，此时只能向右递归
        if (j==grid[0].length-1) return grid[i][j]+recur(grid,i+1,j);//如果已经到了棋盘的右边界并且还未结束，此时只能向下递归
        int benefitRight=recur(grid,i,j+1);//向右的收益
        int benefitDown=recur(grid,i+1,j);//向下的收益
        return grid[i][j]+Math.max(benefitRight,benefitDown);//取最大收益
    }
}

方法二：动态规划

我们假设dp[i][j]代表走到grid[i][j]元素时的最大收益，那么就可以得到递推关系式：

$dp[i][j]=grid[i][j]+max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])$

需要注意的是i-1和j-1的越界问题，把i=0和j=0的情况单独判断即可。

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int m=grid.length;
        int n=grid[0].length;
        int[][] dp=new int[m][n];
        dp[0][0]=grid[0][0];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (i==0&&j==0) continue;
                if (i==0) {
                    dp[i][j]=dp[i][j-1]+grid[i][j];//如果去上边界，此时只有可能是向右走
                }else if (j==0) {
                    dp[i][j]=dp[i-1][j]+grid[i][j];//如果去左边界，此时只有可能是向下走
                }else{
                    dp[i][j]=grid[i][j]+Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);//如果不是边界，那么就取向下走和向右走的最佳收益
                }
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}