Codeforces 1105C （dp）

最新推荐文章于 2021-08-20 23:26:21 发布

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本文探讨了一种计数问题的解决策略，通过将问题转化为余数问题，并使用动态规划进行高效求解。具体地，文章分析了一个特定的数学问题，即在给定区间内寻找数组，使数组元素之和能被3整除。通过分析余数的分布规律，利用动态规划实现了O(n)的时间复杂度求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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题意：

有一个长度为 $n$ 的数列的未知数列，数列的每一个数的值都在区间 $[l, r]$ 的范围内。现在问你能够构成多少个这样的数组，使得数组内的所有数的和能够被 $3$ 整除。

题目分析：

在这个题中，我们不能纠结在具体的数值的变化，我们需要关注数量的变化。

首先，涉及到这类整除性的问题，我们需要将它转化成余数的问题。那么我们可以发现，这些数的余数只会在 $[0, 2]$ 的范围之间变化，因此我们只需分别考虑这三种情况。

我们考虑这样一个问题。如果一个数 $x$ 能够被 $3$ 整除，则我们设 $x = 3 k$ 。而因为 $l\le x \le r$ ，则我们有 $\frac{l}{3}\le k\le \frac{r}{3}$ 。则易得，能被 $3$ 整除的数的个数为： $\frac{r}{3}-\frac{l}{3}$ 。

同理有，模 $3$ 余 $1$ 的个数为： $\frac{r-1}{3}-\frac{l-1}{3}$

模 $3$ 余 $2$ 的个数为： $\frac{r-2}{3}-\frac{l-2}{3}$

得到个数之后，我们就可以用 $d p$ 对答案进行转移。

我们设 $d p [i] [j]$ 为数列的前 $i$ 个数字被取了后，余数为 $j$ 的方案数， $c n t [i]$ 为在区间 $[l, r]$ 中，模 $3$ 余 $i$ 的个数。

则我们容易发现，当前的状态，是由前一个状态分别加上余 $0$ ，余 $1$ ，余 $2$ 的方案数转移过来的，即有状态转移方程： $d p [i] [j + k] + = d p [i - 1] [j] * c n t [k]$ 。

因此我们可以用 $\mathcal{O}(n)$ 的时间复杂度进行转移，最终的答案即为 $d p [n] [0]$

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 200005

using namespace std;
typedef long long ll;
ll dp[maxn][3];
const int mod=1e9+7;
int main()
{
    int n,l,r;
    scanf("%d%d%d",&n,&l,&r);
    l--;
    dp[0][0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<3;j++){
            ll w=(r-j+3)/3-(l-j+3)/3;
            for(int k=0;k<3;k++){
                dp[i+1][(k+j)%3]=(dp[i+1][(k+j)%3]+dp[i][k]*w)%mod;
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][0]<<endl;
    return 0;
}