割点与桥

割点与桥

在前面已经学习了Tarjan算法的基础上，今天我们来学习下与之相关的两个很重要的东西-割点与桥.

我们本次主要讨论的是无向图中的割点与桥。
在无向图中割点的定义为:
在一个无向图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，图的连通分量增多，就称这个点集为割点集合。
桥的定义为:
在一个无向图中，如果有一个边集合，删除这条边之后，图的连通分量增多，就称这个点集为割点集合。

在Tarjan算法中，我们用$dfn$数组记录了结点的dfs访问顺序，$low$数组记录了结点能追溯到的最早的祖先。那么怎么利用这些信息来求割点和桥呢?
首先，由于是无向图，我们还得引入一个数组$pre$来记录每个结点的父结点，这里的父子是指访问顺序的先后关系。然后我们依然用dfs跑Tarjan算法。
我们知道，当$low[u]==dfn[u]$时即出现强连通分量，那么当$low[u]>=dfn[v]$时，点$u$为割点，$v$为点$u$的前一个结点。why? why not呢，可以分析当$low[u]==dfn[v]$这个结点为连通分量的一个交界处，我们把该点以及从该点引出的边删除，那么这个连通分量就独立出来了，那么连通分量的数量增多，所以该点是割点。当$low[u]>dfn[v]$时，表示$u$能追溯到的祖先结点比其先父结点v还要来得早访问，则显然要访问$u$徐先访问其父结点$v$，那么把点$u$去掉，图中的连通分量也会增加，那么$u$也会割点。还需要补充一点的是，如果根结点的子树个数大于2，那么根结点也是割点。

桥估计你应该也能猜到是什么情况了吧。当$low[u]>dfn[v]$时，那么边$<v,u>$就是一条桥，意思很前面的是一样的，只是这里不能取等，为什么呢？显然当这里取等号时，当$low[u]=dfn[v]$时，边$<v,u>$是该连通分量内的一条边，因为是无向图，所以删除这条边不会影响图的连通性。

C++模版

/*
Tarjan 算法求无向图的割点和桥;

by--小学生一发;
*/


#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI=acos(-1.0);
const int maxn=1e5+5;
const ll mod=1e9+7;
int n,m,dfn[maxn],low[maxn],pre[maxn],deep,ans;
int is_cut[maxn];
vector<int> v[maxn];

inline int min(int x,int y){
    return x<y?x:y;
}

void Tarjan(int u,int fa){      //fa为u的前结点;
    dfn[u]=++deep;
    low[u]=deep;
    pre[u]=fa;      //记录结点的父亲结点;
    for(int i=0;i<v[u].size();i++){
        if(!dfn[v[u][i]]){
            Tarjan(v[u][i],u);
            low[u]=min(low[u],low[v[u][i]]);        //结点回溯;
        }else if(fa!=v[u][i]){
            low[u]=min(low[u],dfn[v[u][i]]);        
        }
    }
}

void count(){
    int rootson=0;
    Tarjan(1,0);
    memset(is_cut,0,sizeof(is_cut));
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(pre[i]==1){
            rootson++;      //统计根结点子树的个数,根结点的子树个数>=2,就是割点;
        }else{
            if(low[i]>=dfn[pre[i]]){     //割点的条件;
                is_cut[pre[i]]=1;
            }
        }
    }
    if(rootson>1){
        is_cut[1]=1;
    }

    int ans=0;      //桥的数量;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(pre[i]>0&&low[i]>dfn[pre[i]]){       //桥的条件;
            ans++;
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d %d",&n,&m);
    int x,y;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d %d",&x,&y);
        v[x].push_back(y);
        v[y].push_back(x);
    }
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    count();
    return 0;
}

附上牛客网的一道板子题:
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/392/I

AC代码:

/*
Tarjan 算法求的图的割点和桥;

by--小学生一发;
*/


#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI=acos(-1.0);
const int maxn=1e5+5;
const ll mod=1e9+7;
int n,m,dfn[maxn],low[maxn],pre[maxn],deep,ans;
vector<int> v[maxn];

inline int min(int x,int y){
    return x<y?x:y;
}

void Tarjan(int u,int fa){      //fa为u的前结点;
    dfn[u]=++deep;
    low[u]=deep;
    pre[u]=fa;      //记录结点的父亲结点;
    for(int i=0;i<v[u].size();i++){
        if(!dfn[v[u][i]]){
            Tarjan(v[u][i],u);
            low[u]=min(low[u],low[v[u][i]]);        //结点回溯;
        }else if(fa!=v[u][i]){
            low[u]=min(low[u],dfn[v[u][i]]);
        }
    }
}


int main(){
    scanf("%d %d",&n,&m);
    int x,y;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d %d",&x,&y);
        v[x].push_back(y);
        v[y].push_back(x);
    }
    Tarjan(1,0);
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(pre[i]>0&&low[i]>dfn[pre[i]]){
            cnt++;
        }
    }
    printf("%d\n",m-cnt);
	return 0;
}

新的开始，每天都要快乐哈!