二维与三维逆序对问题-优快云博客

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先放道题：

1144 数星星

Description

天文学家们喜欢观察星星。它们把每颗星星看成一个点，并把每颗星星左下方（即横坐标和纵坐标都不比它大）的星星颗数作为它的等级值。
现给出所有星星（星星个数为N）的坐标，计算并输出指定编号的星星的等级。

注意：不存在相同坐标的星星

输入格式

第一行为N
后N行为编号为1到N的星星的坐标（坐标用整数）
此后是M
后一行是M个星星的编号

N<=100000
M<=1000

坐标范围0<=x,y<=1000000

要求依次输出这M个星星的等级，一行一个

输入样例

输出样例

1
3

这就是一个经典的二维逆序对问题即有两个参数某个对象的两个参数都小于另外一个对象称为一个逆序对比较容易想到对第一维进行排序对于第二维则用树状数组每次更新的同时算出每个对象的值

AC代码：

#include <set>
#include <map>
#include <list>
#include <deque>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;

const int maxn=100005;
const int inf=1000005;
struct node
{
    int x;
    int y;
    int id;
    bool operator < (const node k)const
    {
        return x==k.x?y<k.y:x<k.x;
    }
};
int n;
int m;
int c[inf];
int cnt[maxn];
int ans[maxn];
node a[maxn];

int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}

int sum(int x)
{
    int ret=0;
    while(x>0)
    {
        ret+=c[x];x-=lowbit(x);
    }
    return ret;
}

void add(int x,int d)
{
    while(x<=inf)
    {
        c[x]+=d;
        x+=lowbit(x);
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        a[i].x=x+1;
        a[i].y=y+1;
        a[i].id=i;
    }
    cin>>m;
    sort(a+1,a+1+n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cnt[a[i].id]=sum(a[i].y);
        add(a[i].y,1);
    }
    int tot=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int ask;
        scanf("%d",&ask);
        ans[++tot]=cnt[ask];
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        printf("%d\n",ans[i]);
    }
}

再看一题：

有n朵花,每朵花有三个属性:花形(s)、颜色(c)、气味(m),用三个整数表示。

现在要对每朵花评级,一朵花的级别是它拥有的美丽能超过的花的数量。

定义一朵花A比另一朵花B要美丽,当且仅Sa>=Sb,Ca>=Cb,Ma>=Mb。

显然,两朵花可能有同样的属性。需要统计出评出每个等级的花的数量。

Input

第一行为N,K (1 <= N <= 100,000, 1 <= K <= 200,000 ), 分别表示花的数量和最大属性值。

以下N行，每行三个整数si, ci, mi (1 <= si, ci, mi <= K)，表示第i朵花的属性

Output

包含N行，分别表示评级为0...N-1的每级花的数量。

Sample Input 10 33 3 32 3 3 2 3 1 3 1 1 3 1 2 1 3 1 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 2 1

Sample Output 3130101001

这就是一道经典的三维逆序题我们没办法像对二维逆序问题那样做所以就要用一个算法叫CDQ分治的方法简单点说就是对第一维进行排序第二维用归并第三维用树状数组

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn=200010;
int mx=0;
struct node
{
    int n,x,y,z;
    bool operator < (const node k)const
    {
        if(x!=k.x) return x<k.x;
        return y!=k.y?y<k.y:z<k.z;
    }
    bool operator == (const node k)const
    {
        return x==k.x&&y==k.y&&z==k.z;
    }
}p[maxn];
bool cmpn(node a,node b)
{
    return a.n<b.n;
}
bool yzx(node a,node b)
{
    if(a.y!=b.y) return a.y<b.y;
    return a.z!=b.z?a.z<b.z:a.x<b.x;
}
int level[maxn],c[maxn],ans[maxn],same[maxn];
int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}
void add(int x,int d)
{
    while(x<=mx)
    {
        c[x]+=d;
        x+=lowbit(x);
    }
}
int sum(int x)
{
    int ret=0;
    while(x>0)
    {
        ret+=c[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ret;
}
void cdq(int l,int r)
{
    if(l==r) return;
    int m=l+(r-l)/2;
    cdq(l,m);
    cdq(m+1,r);
    sort(p+l,p+r+1,yzx);
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        if(p[i].x<=m)
            add(p[i].z,1);
        else
            ans[p[i].n]+=sum(p[i].z);
    }
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        if(p[i].x<=m)
            add(p[i].z,-1);
    }
}
int main()
{
    memset(c,0,sizeof(c));
    memset(ans,0,sizeof(ans));
    memset(level,0,sizeof(level));
    memset(p,0,sizeof(p));
    memset(same,0,sizeof(same));
    int n,k;scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        p[i].n=i;
        scanf("%d%d%d",&p[i].x,&p[i].y,&p[i].z);
        mx=max(mx,p[i].z);
    }
    sort(p,p+n);
    for(int i=0;i<n;)
    {
        int j=i+1;
        while(j<n&&p[j]==p[i]) j++;
        while(i<j)
            same[p[i++].n]=p[j-1].n;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        p[i].x=i;
    }
    cdq(0,n-1);
    sort(p,p+n,cmpn);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        level[ans[same[p[i].n]]]++;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        printf("%d\n",level[i]);
    }
    return 0;
}

同理还有更高维的逆序对问题