leetcode爬楼梯c++

爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

解法1：直接递归

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> demo(n+1,-1);
        return climb_stairs(0,n,demo);
    }
    int climb_stairs(int i,int n,vector<int> &demo)
    {
        if(i>n) return 0;
        if(i==n) return 1;
        if(demo[i]>0) return demo[i];
        demo[i]=climb_stairs(i+1,n,demo)+climb_stairs(i+2,n,demo);
        return demo[i];
    }
};

这种方法计算出现了冗余所以计算速度慢。

解法2：记忆优化

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> demo(n+1,-1);
        return climb_stairs(0,n,demo);
    }
    int climb_stairs(int i,int n, vector<int> &demo)
    {
        if(i>n) return 0;
        if(i==n) return 1;
        if(demo[i]>0) return demo[i];
        demo[i]=climb_stairs(i+1,n,demo)+climb_stairs(i+2,n,demo);
        return demo[i];
    }
};

我们可以把每一步的结果存储在 demo 数组之中，每当函数再次被调用，我们就直接从 demo 数组返回结果。

解法3：动态规划

不难发现，这个问题可以被分解为一些包含最优子结构的子问题，即它的最优解可以从其子问题的最优解来有效地构建，我们可以使用动态规划来解决这一问题。
第 i 阶可以由以下两种方法得到：

在第 (i−1)阶后向上爬一阶。

在第 (i−2) 阶后向上爬 2 阶。

所以到达第 iii 阶的方法总数就是到第 (i−1)阶和第 (i−2) 阶的方法数之和。
令 dp[i] 表示能到达第 i 阶的方法总数：
dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n==1) return 1;
        vector<int> s(n+1,-1);
        s[1]=1;
        s[2]=2;
        for(int i=3;i<=n;i++)
        {
            s[i]=s[i-1]+s[i-2];
        }
        return s[n];
    }
};

解法4：斐波那契数

在上述方法中，我们使用 dp 数组，其中 dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]。可以很容易通过分析得出 dp[i] 其实就是第 i个斐波那契数。
Fib(n)=Fib(n−1)+Fib(n−2)
Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2)
Fib(n)=Fib(n−1)+Fib(n−2)
现在我们必须找出以 1 和 2 作为第一项和第二项的斐波那契数列中的第 n 个数，也就是说 Fib(1)=1 且 Fib(2)=2。

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n==1) return 1;
        int first=1;
        int second=2;
        for(int i=3;i<=n;i++)
        {
            int third=first+second;
            first=second;
            second=third;
        }
        return second;
    }
};

解法5：斐波那契公式

我们可以使用这个公式找到斐波那契数

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        double sqrt5=sqrt(5);
        double fibn=pow((1+sqrt5)/2,n+1)-pow((1-sqrt5)/2,n+1);
        return (int)(fibn/sqrt5);
    }
};

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