数据结构课程设计-神秘国度的爱情故事-LCA：tarjan+离线/树链剖分/暴力

1、无脑暴力dfs:   O(n*m)

2、LCA/tarjan+离线处理： O(n+m)

3、LCA/树链剖分： O(nlogn+m)~O(nlogn+mlogn)

4、LCA/倍增思想(有空再补)：

tarjan：

实验内容：

题目要求：某个太空神秘国度中有很多美丽的小村，从太空中可以想见，小村间有路相连，更精确一点说，任意两村之间有且仅有一条路径。小村 A 中有位年轻人爱上了自己村里的美丽姑娘。每天早晨，姑娘都会去小村 B 里的面包房工作，傍晚 6 点回到家。年轻人终于决定要向姑娘表白，他打算在小村 C 等着姑娘路过的时候把爱慕说出来。问题是，他不能确定小村 C 是否在小村 B 到小村 A 之间的路径上。你可以帮他解决这个问题吗？

 

输入要求：输入由若干组测试数据组成。每组数据的第 1 行包含一正整数 N ( l < N < 50000 ) , 代表神秘国度中小村的个数，每个小村即从0到 N - l 编号。接下来有 N -1 行输入，每行包含一条双向道路的两个端点小村的编号，中间用空格分开。之后一行包含一正整数 M ( l < M < 500000 ) ，代表着该组测试问题的个数。接下来 M 行，每行给出 A 、 B 、 C 三个小村的编号，中间用空格分开。当 N 为 O 时，表示全部测试结束，不要对该数据做任何处理。

 

输出要求：对每一组测试给定的 A 、 B 、C，在一行里输出答案，即：如果 C 在 A 和 B 之间的路径上，输出 Yes ，否则输出 No.

实验原理：

把村子当作节点，村子间的路当作边就能将问题转化成图的问题。又因为任意两村之间有且仅有一条路径，而输入的村子数为n且村之间的边数也只有n-1，所以可以判断出该图是一颗树，问题也就简化为树的问题。

 

• 数据结构及算法设计思想

数据结构：

经过实验原理的分析，树上的问题可以采用树形结构来存储数据进行处理。

 

算法设计思想：

整体思路是采用Tarjan算法的离线处理。离线处理就是先把询问存起来，在一次遍历中进行缩点同时把所以询问一次性解决，所以时间复杂度是O(n+m)。

图的连边采用邻接表形式，边是双向边。

整理询问的基本思路是用结构体存储询问的A，B，C村的编号a，b，c，A，B村的最近公共祖先lca以及询问的编号id。用vector容器head_q[i]表示村子编号为i的存储的有关的询问的下标。

遍历的基本思路是Tarjan算法：

1. 任取一点为根节点（本实验我采用的根是编号1），从根开始。
2. 遍历该节点u所以子节点v，并标注这些子节点v已被访问过。
3. 若v还有子节点，返回第二步，否则下一步。
4. 合并v到u上。
5. 寻找于当前点u有关的询问。
6. 处理询问。

 

询问处理：重点在于处理出Yes的询问。分情况讨论：

1. 当前搜索到的节点为c，那么如果a，b都搜索过了，也就是说a，b以下的节点已经合并到c了，如图6-1，这时无法之间断定c是a，b路径上的点，因为可能是a，b最近公共祖先以上的父节点。那么就判断：如果a，b的最近公共祖先不是c的话该询问就是No，如果是就是Yes。

图6-1