机器人路径计数的动态规划解法-优快云博客

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本文探讨了一个经典的动态规划问题，即计算机器人在网格中从左上角到右下角的不同路径数量。通过分析，我们简化了问题，避免了使用复杂的排列组合方法，提出了一种高效的DP算法，并提供了简洁的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

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解决方案

一开始看到这道题想到的是高中的时候学的排列组合问题，但是用排列组合的方法来解决太过于复杂了，不仅时间复杂度比较高，而且过程中空间占用比较大，很可能会溢出。经过分析发现这是一个基本的DP问题。
由于机器人只能左右移动，当它到达一个点时，只有两种可能:

下移
右移

因此，我们得到以下状态方程：假设到达点(i, j)的路径数记为P[i][j]，则

P[i][j] = P[i - 1][j] + P[i][j - 1]

上述方程的边界条件出现在最左边的列(P[i][j - 1]不存在)和最上面的行(P[i - 1][j]不存在)。这些条件可以通过初始化(预处理)来处理——对于所有有效的i, j，初始化P[0][j] = 1, P[i][0] = 1。

代码

class Solution {
    int uniquePaths(int m, int n) {
        if (m > n) return uniquePaths(n, m); 
        vector<int> pre(m, 1);
        vector<int> cur(m, 1);
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            for (int i = 1; i < m; i++)
                cur[i] = cur[i - 1] + pre[i];
            swap(pre, cur);
        }
        return pre[m - 1];
    }
};

class Solution {
    int uniquePaths(int m, int n) {
        if (m > n) return uniquePaths(n, m);
        vector<int> cur(m, 1);
        for (int j = 1; j < n; j++)
            for (int i = 1; i < m; i++)
                cur[i] += cur[i - 1]; 
        return cur[m - 1];
    }
};