机器学习(周志华) 参考答案 第一章 绪论 题1.2

题1.2：与使用单个合取式来进行假设表示相比，使用“析合范式”将使得假设空间具有更强的表示能力。若使用最多包含k个合取式的析合范式来表达1.1的西瓜分类问题的假设空间，试估算有多少种可能的假设。

这道题目我是几乎只用了一些离散数学的方法，没涉及到统计或者编程，和网上的大部分做法思路不太一样。

所有可能的析合范式可以按等价关系（具体来说，如果两个析合范式对样本空间所有点的预测值相等即为等价）划分成一个个等价类，题目的意思就是求等价类的个数。

对任意等价类，可以用其中的某个析合范式S表示出来，S满足组成S的每个合取式的三个属性都取具体值而不取*（显然对每个等价类是都能找到这样一个S的）。则等价类的个数=代表等价类的满足要求的S的个数。再将这些S组成一个集合X。

然后再建立一个真值表集合Y，这个集合里的所有真值表都满足：

①有四列，分别表示色泽的取值、根蒂的取值、敲声的取值、是否为好瓜。

②这些真值表前三项的取值都为具体值而非*，并且一共有2*3*3行。

③真值表至少有一行的标记为T，不能每一行都为F。

并且规定满足这两点的真值表都属于这个真值表集合Y。

显然X到Y能建立一个双射f，f将任意S在样本空间的取值情况映射到对应的真值表上。为什么是双射呢？按照定义单射是没问题的（因为X中不同的S直接对应了不同的等价类，不同的等价类在样本空间有不同取值情况，对应的真值表也不同），然后因为随便给个真值表都能建立一个析取范式S满足组成S的每个合取式的三个属性都取具体值而不取*，所以是双射。

则等价类的个数=代表等价类的满足要求的S的个数=|X|=|Y|==2**(2*3*3)-1=262143。

不知道这样理解是否正确，欢迎大家讨论