快慢指针

最新推荐文章于 2020-09-10 15:56:23 发布

原创最新推荐文章于 2020-09-10 15:56:23 发布 · 397 阅读

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#快慢指针 #环 #链表 #证明

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本文详细解析了使用快慢指针解决链表环检测问题的算法思路，包括快慢指针相遇原理、首次相遇时的位置分析及定位环入口点的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

Given a linked list, return the node where the cycle begins. If there is no cycle, returnnull.

Follow up:
Can you solve it without using extra space?

代码

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * struct ListNode {
 *     int val;
 *     ListNode *next;
 *     ListNode(int x) : val(x), next(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    ListNode *detectCycle(ListNode *head) {
        if(!head )
            return nullptr;
        ListNode *fast=head,*slow=head;//快慢指针的声明与初始化：直接等于头结点就行
        while(fast && fast->next  ){
            fast=fast->next->next;
            slow=slow->next;
            if(fast==slow)
                break;
        }
        if(!fast || !fast->next)
            return nullptr;
        while(slow && slow!=head){
            slow=slow->next;
            head=head->next;
        }
        return head;
    }
};

细节

快慢指针的声明与初始化：直接等于头结点就行
ListNode *fast=head,*slow=head;
如何证明如果有环，快慢指针一定会在环里相遇？

设慢指针走的路程为 $S_{slow}$ ，快指针走的路程为 $S_{fast}$ ，由于lenA是它们必经之路，所以它们之间的差距只能是圆周长的倍数，快指针只是比慢指针多绕了圆若干圈（不妨即为k圈） $S_{fast}-S_{slow}=(x+y)k$ 所以它们一定会在圆内某个点（不妨即为pos点）相遇的。
如何证明快慢指针第一次相遇时慢指针还没走完1圈？
反证：假设快慢指针第一次相遇时慢指针已经走完了r圈，则有 $(1)Sslow=lenA+(x+y)r+xS_{slow}=lenA+(x+y)r+x\tag1$ $(2)Sfast=lenA+(x+y)(r+k)+xS_{fast}=lenA+(x+y)(r+k)+x\tag2$ $(3)Sfast=2SslowS_{fast}=2S_{slow}\tag3$ 由上述3式可得 $(4)Sfast−2(x+y)r=Sslow−(x+y)rS_{fast}-2(x+y)r=S_{slow}-(x+y)r\tag4$ 即 $(5)Sfast′≜lenA+(x+y)(k−r)+x=2(lenA+x)≜2Sslow′S_{fast}^{'}\triangleq lenA+(x+y)(k-r)+x=2(lenA+x)\triangleq 2S_{slow}^{'}\tag5$ 若 $k≤rk\le r$ 则等式5不成立，即等式3不成立，反证结束；
若 $k > r$ 则等式5成立，说明在慢指针走完r圈与快指针相遇时，已经在第一圈没走完的时候遇过快指针1次了，反证结束。
如何证明快慢指针首次相遇后，慢指针和头指针最后会在入口点相遇？
即证 $lenA=y+(x+y)k_2$
由快慢指针首次相遇时满指针还没走完一圈可得 $l e n A + (x + y) k + x = 2 (l e n A + x)$ 即 $l e n A + x = (x + y) k = (x + y) (k - 1) + y + x$ 令 $k_2=k-1$ ，则有 $lenA=(x+y)k_2+y$ 得证！！！