视觉SLAM基本原理（1）—— 欧氏变换与旋转向量

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向量空间

1、概念

    对于向量空间\(\mathbb{V}\)一组向量\({\boldsymbol \alpha}_{1}, {\boldsymbol \alpha}_{2}…{\boldsymbol \alpha}_{r}\)：

1. 取自\(\mathbb{V}\)；
2. 线性无关；
3. \(\mathbb{V}\)内任意向量a均可由其线性表出.

    则\({\boldsymbol \alpha}_{1}, {\boldsymbol \alpha}_{2}…{\boldsymbol \alpha}_{r}\)就是\(\mathbb{V}\)的一组基（实际上\({\boldsymbol \alpha}_{1}, {\boldsymbol \alpha}_{2}…{\boldsymbol \alpha}_{r}\)就是\(\mathbb{V}\)内的一组极大无关组）.    且\({\boldsymbol \alpha}=k_{1}{\boldsymbol \alpha}_{1}+k_{2}{\boldsymbol \alpha}_{2}+…+k_{r}{\boldsymbol \alpha}_{r}\)叫做\({\boldsymbol \alpha}\)在这组基下的坐标（唯一解）.

2、过渡矩阵

    \({\boldsymbol \alpha}_{1}, {\boldsymbol \alpha}_{2}…{\boldsymbol \alpha}_{n}\), \({\boldsymbol \beta}_{1}, {\boldsymbol \beta}_{2}…{\boldsymbol \beta}_{n}\)分别为\(\mathbb{R}^n\)的两组基，且 \([{\boldsymbol \alpha}_{1}, {\boldsymbol \alpha}_{2}…{\boldsymbol \alpha}_{n}]\) \({\boldsymbol C}\) = \([{\boldsymbol \beta}_{1}, {\boldsymbol \beta}_{2}…{\boldsymbol \beta}_{n}]\).    则 \({\boldsymbol C}\)（可逆）为 \([{\boldsymbol \alpha}_{1}, {\boldsymbol \alpha}_{2}…{\boldsymbol \alpha}_{n}]\)到\([{\boldsymbol \beta}_{1}, {\boldsymbol \beta}_{2}…{\boldsymbol \beta}_{n}]\)过渡矩阵.    需要注意的是，这里面存在一个默认的坐标系（可以是A，B之一）来表示\({\boldsymbol \alpha}_{1}, {\boldsymbol \alpha}_{2}…{\boldsymbol \alpha}_{n}\), \({\boldsymbol \beta}_{1}, {\boldsymbol \beta}_{2}…{\boldsymbol \beta}_{n}\).   

例子： \({\boldsymbol \alpha}_{1}=\)\(\begin{bmatrix}1\\0\\1\\\end{bmatrix}\), \({\boldsymbol \alpha}_{2}=\)\(\begin{bmatrix}1\\1\\-1\\\end{bmatrix}\), \({\boldsymbol \alpha}_{3}=\)\(\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\\end{bmatrix}\), \({\boldsymbol \beta}_{1}=\)\(\begin{bmatrix}3\\0\\1\\\end{bmatrix}\), \({\boldsymbol \beta}_{2}=\)\(\begin{bmatrix}2\\0\\0\\\end{bmatrix}\), \({\boldsymbol \beta}_{3}=\)\(\begin{bmatrix}0\\2\\-2\\\end{bmatrix}\)是\(\mathbb{R}^3\)的两个基.   

问：已知 \({\boldsymbol \xi}\)在\({\boldsymbol \beta}_{1}, {\boldsymbol \beta}_{2},{\boldsymbol \beta}_{3}\)下的坐标为\((1,2,0)\)，求 \({\boldsymbol \xi}\)在\({\boldsymbol \alpha}_{1}, {\boldsymbol \alpha}_{2},{\boldsymbol \alpha}_{3}\)下的坐标.