LeetCode_343：数字划分问题的三种解法

题目描述

https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

解法1——递归

递归的思路无非就是自顶向上，很容易想出来，代码如下

//递归-自顶向下
public static int integerBreak(int n) {
    return dfs(n);
}

public static int dfs(int n){
    if(n == 1 || n == 2){
        return 1;
    }
    int res = 0;
    for(int i = 1;i < n;i++){
        res = Math.max(res,Math.max(i * dfs(n - i),i * (n - i)));
    }
    return res;
}

这种方法虽然比较容易想出来，但是中间重复计算的非常多，实际在LeetCode中不能AC。

解法2——动态规划

动态规划那么就是自底向上的方法，根据上一步的递归，状态转移方程为
$$dp[i]=\max (dp[i],\max (j\ast dp[i-j],j\ast (i-j)))$$
其中，$j$为区间$[1,i-1]$之间的数。

//动态规划-自下向上
public static int integerBreak2(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[2] = 1;
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        for(int j = 1;j <= i - 1;j++){
            dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j * dp[i - j],j * (i - j)));
        }
    }
    return dp[n];
}

解法3——数学分析

根据高中学习的均值不等式，可以得到
$$n=\frac{a_1+a_2+...+a_m}{m}\ge \sqrt[m]{a_1{a}_2...a_m}$$
设$a_1=a_2=...=a_m=x$，那么目标积为
$$f(x)=x^{\frac{m}{x}}$$
对上述函数求导数，可以得到
$$f^{\prime }(x)=m(1-\ln x)x^{\frac{n}{x}-2}$$
当$x=e=2.71828...$时取得最大值，那么离$e$最近的两个整数为2和3，下面再来考虑时选择3还是选择2。

假设一个数$n=3x+2y$，则乘积为$f=3^x{2}^y=3^x{2}^{\frac{n-3x}{2}}$,对其两边取对数可以得到
$$\ln f=x\ln 3+\frac{n-3x}{2}\ln 2=(\ln 3-\frac{3}{2}\ln 2)x+\frac{n}{2}\ln 2$$
由于$(\ln 3-\frac{3}{2}\ln 2)>0$，所以是$x$越大越好，所以应该尽可能的多取3.

//数学方法
public static int integerBreak3(int n){
    if(n == 2){
        return 1;
    }
    if(n == 3){
        return 2;
    }
    int res = 1;
    while(n > 4){
        res *= 3;
        n -= 3;
    }
    return res * n;
}