求和：fft，表达式化简

$f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{i} S(i,j) \times 2^j \times j!$

其中$S(i,j)$为第二类斯特林数,公式为$S(i,j)=\frac{1}{j!} \sum\limits_{k=0}^{j} (-1)^k C(j,k) (j-k)^i$

求$f(n)$,$n<=100000$,答案对$998244353(=2^{23} \times 7 \times 17 + 1)$取模

 

 

$f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{i} 2^j \times \sum\limits_{k=0}^{j} (-1)^k \times \frac{j!}{k! \times (j-k)!} \times (j-k)^i$

$=\sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{i} 2^j \times j! \times \sum\limits_{k=0}^{j} \frac{(j-k)^i}{(j-k)!} \times \frac{(-1)^k}{k!}$

$=\sum\limits_{j=0}^{n} 2^j \times j! \times \sum\limits_{k=0}^{j} \frac{\sum\limits_{i=0}^{n}(j-k)^i}{(j-k)!} \times \frac{(-1)^k}{k!}$

可以发现，$\sum\limits_{i=0}^{n}(j-k)^i$项就是一个等比数列求和，可以快速幂求出。

那么两个分数分别只与j-k和k有关了，相乘的话，就是卷积形式FFT求出，枚举最外层j即可。

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