类表示公理

类表示公理

类表示有外部表示和内蕴表示，故归类输入、归类输出都有：内蕴表示和外部表示。

归类输入的外部表示

归类输入的外部表示由一个有限抽样对象集合

$$O=\{o_1,o_2,o_3,...,o_N\}$$ 的归类输入外部信息组成，包括对象的特性输入表示和对应的类外延表示。

对象特性输入表示

$$X=\{x_1,x_2,x_3,...,x_N\}$$ 可归为$c$个子集 $$\{X_1,X_2,X_3,...,X_c\}$$

其对应的归类输入的类外延表示由划分矩阵$U=[u_{ik}]_{c\times N}$表示，其中$u_{ik}$表示对象$o_k$属于第$i$个输入类的隶属度，$U$有时也叫做隶属矩阵。

定义指派算子$\rightarrow$如下：

$$\vec X=\{ \vec x_1,\vec x_2,..,\vec x_N\}$$ ，其中，$\vec x_k=arg max_i u_{ik}$，$\vec x_k$可以读作$x_k$外部指称为第$\vec x_k$类。

因此，归类输入的外部表示为：$(X,U)$

归类输出的外部表示

归类输出的外部表示也可以表示为：$(Y,V)$

其对象特性输出

$$Y={y_1,y_2,y_3,...,y_N}$$ 归为c个子集 $$\{Y_1,Y_2,Y_3,...,Y_c\}$$

同样有划分矩阵$V=[v_{ik}]$，其中$v_{ik}$表示对象$v_k$对滴$i$输出类的隶属度。当$V$已知，则一个对象总是被指派到具有隶属度最大的类中，由此可以定义指派算子$\rightarrow$如下：

$$\vec Y=\{ \vec y_1,\vec y_2,..,\vec y_N\}$$ ，其中，$\vec y_k=arg max_i v_{ik}$，$\vec y_k$可以读作$y_k$外部指称为第$\vec x_k$类。

因此，归类输出的外部表示为：$(Y,V)$

相似性映射

• 输入类相似性映射

$$Sim_X:X\times \{\underline{X_1},\underline{X_2},..,\underline{X_c}\}\mapsto R_+$$ 是输入类相似性映射。满足条件：函数$Sim_X(x_i,\underline{X_i})$值增加表示$x_k$和$\underline{X_i}$相似性增加，否则减小。

• 输出类相似性映射

$$Sim_Y:Y\times \{\underline{Y_1},\underline{Y_2},..,\underline{Y_c}\}\mapsto R_+$$ 是输入类相似性映射。满足条件：函数$Sim_Y(y_i,\underline{Y_i})$值增加表示$y_k$和$\underline{Y_i}$相似性增加，否则减小。

知道了输入类相似性映射，可以根据相似度将对象进行归类。可以定义相似算子$\sim$如下：

$$\widetilde{X}=\{\widetilde x_1,\widetilde x_2 ...,\widetilde x_N\}$$ ，其中，$\widetilde x_k=arg max_i Sim_X(x_k,\underline X_i)$。$\widetilde x_k$可以读作$x_k$内蕴指称为第$\widetilde x_k$。

同样地，对于输出类相似性映射也可定义。

相异性映射

• 输入类相异性映射

$$Ds_X:X\times \{\underline{X_1},\underline{X_2},..,\underline{X_c}\}\mapsto R_+$$ 是输入类相似性映射。满足条件：函数$Ds_X(x_i,\underline{X_i})$值增加表示$x_k$和$\underline{X_i}$相似性增加，否则减小。

• 输出类相异性映射

$$Ds_Y:Y\times \{\underline{Y_1},\underline{Y_2},..,\underline{Y_c}\}\mapsto R_+$$ 是输入类相似性映射。满足条件：函数$Ds_Y(y_i,\underline{Y_i})$值增加表示$y_k$和$\underline{Y_i}$相似性增加，否则减小。

知道了输入类相异性映射，可以将对象进行归类。可以定义相似算子$\sim$如下：

$$\widetilde{X}=\{\widetilde x_1,\widetilde x_2 ...,\widetilde x_N\}$$ ，其中，$\widetilde x_k=arg min_i Ds_X(x_k,\underline X_i)$。$\widetilde x_k$可以读作$x_k$内蕴指称为第$\widetilde x_k$。

同样地，对于输出类相似性映射也可定义。

简单来说，可将$(X,U,\underline X,Sim_X)$或$(X,U,\underline X,Ds_X)$ 称为归类输入，$(X,U)$为外显输入，$(\underline X,Sim_X)$或$(\underline X,Ds_X)$为内在输入。
可将$(Y,V,\underline Y,Sim_Y)$或$(Y,V,\underline Y,Ds_Y)$ 称为归类输出，$(Y,V)$为外显输出，$(\underline Y,Sim_Y)$或$(\underline Y,Ds_Y)$为内在输出。

类表示存在公理

类表示存在公理：对于一个归类算法，如果其外显输入为$(X,U)$，其外显输出为$(Y,V)$，则一定存在对应的内在输入$(\underline X,Sim_X)$和内在输出$(\underline Y,Sim_Y)$。

由于内在输入$(\underline X,Sim_X)$和其对应的内在输出$(\underline Y,Sim_Y)$描述的是同一组外在对象，因此一个对象类的输入输出内蕴指称应该相同，故必有$(\widetilde X,\widetilde Y)$,即：$\forall k(\widetilde x_k=\widetilde y_k)$。

由于外显输入$(X,U)$和其对应的外显输出$(Y,V)$描述的是同一组外在对象，因此一个对象类的输入输出外部指称应该相同，故必有$(\vec X,\vec Y)$,即：$\forall k(\vec x_k=\vec y_k)$。

同理$\underline X=\underline Y$

类表示唯一公理

类表示唯一公理：对于一个归类算法，如果其输入为$(X,U,\underline X,Sim_X)$，其输出为$(Y,V,\underline Y,Sim_Y)$，则$(\vec X,\underline X,\widetilde X)=(\vec Y,\underline Y,\widetilde Y)$。

特性输入$x_k$与其对应的特性输出$y_k$都表示同一个对象$o_k$。

假设一个映射$\theta$,使得$y=\theta (x)$ 。

分析可知$\theta$ 为恒同映射，且$Sim_X (x_k,\underline {X_i})=Sim_Y (y_k,\underline {Y_i})$。

类表示存在公理和类表示唯一公理统称为类表示公理。$(\underline X,Sim_X)$是期望学到的，$(\underline Y,Sim_Y)$是实际学到的。