【剑指offer】斐波那契数列问题

最新推荐文章于 2021-05-18 17:14:23 发布

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分类专栏：剑指offer

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博客介绍了斐波那契数列，它又称黄金分割数列、兔子数列，数学上以递推方法定义。还探讨了其在多个问题中的应用，如青蛙跳台阶、小矩形覆盖大矩形等，这些问题的结果都可通过递推得出为斐波那契数列。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1、斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

代码实现如下：

// 斐波那契数列的java实现 
public static int Fibonacci(int n) {
    int last=1,latter=1,result=0; //用于缓存f(n-1) f(n-2)
    if (0==n)
        return 0;
    else if (1==n||2==n)
        return 1;
    else {
        for (int i=3;i<=n;i++){
            result=last+latter;  //计算f(n)
            last=latter;//更新f(n-2)
            latter=result;  //更新f(n-1)
        }
        return result;
    }
}

2、一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

用递推可知其结果为斐波那契数列f(n)=f(n-1)+f(n-2)

public int JumpFloor(int n) {
int last=1,latter=2,result=0; //用于缓存f(n-1) f(n-2)
    if (0==n)
        return 0;
    else if (1==n)
        return 1;  
    else if(2==n)
        return 2;
    else {
        for (int i=3;i<=n;i++){
            result=last+latter;  //计算f(n)
            last=latter;//更新f(n-2)
            latter=result;  //更新f(n-1)
        }
        return result;
    }
}

3、附加：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

   static int jumpFloorII(int number) {//罗列各项，寻找规律，可知f(n)=2的n-1次方
    int result=1;
    return result<<(number-1);//将乘法优化为位运算
}

4、我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？罗列各项，寻找规律，递推可知其结果为斐波那契数列f(n)=f(n-1)+f(n-2)

 int rectCover(int target) {
    int last=1,latter=2,result=0; //用于缓存f(n)=f(n-1)+f(n-2)
    if (1==target)
        return 1;
    else if (2==target)
        return 2;
    else {
        for (int i=3;i<=target;i++){
            result=last+latter; //计算f(n)
            last=latter; //更新f(n-2)
            latter=result; //更新f(n-1)
        }
        return result;
    }

}

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