C++数据结构与算法（动态规划）

动态规划（dynamic programming）与分治方法相似，都是通过组合子问题的解来求解原问题。分治方法将问题划分为互不相交的子问题，递归地求解子问题，再将它们的解组合起来，求出原问题的解。与之相反，动态规划应用于子问题重叠的情况，即不同的子问题具有公共的子子问题（子问题的求解是递归进行的，将其划分为更小的子子问题）。在这种情况下，分治算法会做出许多不必要的工作，它会反复求解那些公共子问题。而动态规划只对每个子子问题求解一次，将其解保存在一个表格中，从而无需每次求解一个子子问题时都要重新计算，避免了不必要的计算工作。

 按如下步骤来设计一个动态规划算法：

1. 刻画一个最优解的结构特征；
2. 递归地定义最优解的值；
3. 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法；
4. 利用计算出的信息构造一个最优解。

1  案例分析

1）清雨的自助餐

题目描述：清雨面前有n种食物，排成一排，清雨可以选择其中的若干种食物，但是不能连续选择相邻的食物，问有多少种方法？其中1<n<90。

输入描述：

一个整数n

输出描述：

一个数的答案

输入样例：

3

输出样例：

5

解题思路：设dp[i]表示1~i的食物有多少种选法。考虑第i种食物，若选，则i-1不能选，所以方案为dp[i-2]；若不选，则方案数为dp[i-1]。故转移方程dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]。易得初始条件为：dp[1]=dp[i-1]+dp[i-2]。

90项用long long刚好存的下。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 

typedef long long LL;
const int N=90+5;

int n;
LL a[N];

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	a[1]=2;
	a[2]=3;
	for(int i=3;i<=n;i++)
	{
		a[i]=a[i-1]+a[i-2];
	}
	printf("%lld\n",a[n]);
	return 0;
}

结果：

2）糖果

题目描述：有一堆总数为奇数的糖果，小明和小红依次从这堆糖果中取一个糖果。首先将糖果排成一个环，然后小明先拿，之后二人只能从队尾或者队首拿糖果，直到所有糖果拿完，最后拿糖果多的获胜。

输入描述：

第一行：N

第2至N+1行：每行一个数，代表糖果数。

输出描述：

一个数，请输出胜利者比失败者多拿多少糖果

输入样例：

4

1

55

41

2

输出样例：

54

小明先选55，此时环从55处断开，变为序列[41,2,1]

小红先选择行首的41，此时剩余的序列为[2,1]

小明选择行首的2，此时剩余的序列为[1]

小红选择剩余的1.

此时小明获胜，比小红多15颗糖果。

解题思路：带博弈的动态规划

设dp[i][j]为只考虑i~j的糖果序列，先手能比后手多的糖果数，则转移方程为

dp[i][j]=max(a[i]-dp[i+1][j],a[j]-dp[i][j-1])

为环的话，只需要枚举第一个取得的糖果，即可转为序列上的问题。

//糖果问题
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int predictWinner(vector<int>candies)
{
	int length=candies.size();
	if(length==0) return false;
	vector<vector<int> > dp(length,vector<int>(length,0));
	for(int i=0;i<length;i++)
	{
		dp[i][i]=candies[i];
	}
	for(int d=1;d<length;d++)
	{
		for(int i=0;i<length;i++)
		{
			dp[i][(i+d)%length]=max(candies[i]-dp[(i+1)%length][(i+d)%length],
			candies[(i+d)%length]-dp[i][(i+d-1)%length]);
		}
	}
	int result=INT_MIN;  //INT_MIN= -2^31=-2147483648
	for(int i=0;i<length;i++)
	{
		result=max(result,dp[i][(i+length-1)%length]);
	}
	return result;
}

int main()
{
	int length=0;
	int candies[10000];
	cin>>length;
	for(int i=0;i<length;i++)
	{
		cin>>candies[i];
	}
	vector<int> v(candies,candies+length);
	cout<<predictWinner(v)<<endl;
} 
  

结果：