剑指offer—连续子数组的最大和

本题是《剑指offer》的题目，原题目为：

HZ偶尔会拿些专业问题来忽悠那些非计算机专业的同学。今天测试组开完会后,他又发话了:在古老的一维模式识别中,常常需要计算连续>子向量的最大和,当向量全为正数的时候,问题很好解决。但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边的正数会弥补它呢？>例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)。给一个数组，返回它的最大连续子序列的和，你会不会被>他忽悠住？(子向量的长度至少是1)

分析：
拿到该题最初的想法是从现有的例子中找出一些规律，比如针对{6,-3,-2,7,-15,1,2,2}，找出连续的最大子序列的和(maxSum)。
第一步加上6，maxSum = 6，
然后再加上-3，maxSum = 3；
再继续加上-2，maxSum = 1;
再加上7，maxSum = 8;
继续往后加-15，maxSum = -7；
然后继续加上1，maxSum = -6

可以发现，累加上[6,-3,-2,7]得到的maxSum比累加上 [6,-3,-2,7,-15,1]的maxSum还要大，因此我们可以不考虑后面的-15、1，因为一直累加负值，会导致和越来越小；所以说如果一旦累加和变成了负值，则需要单独处理。
遍历整个过程，可以发现，其实在实际的计算中，很早就已经计算出了当前最大子序列的和，但是如果不计算到最后，根本无法确定该值时最终最大子数组的和。可以想办法记住当前最大子序列的和的值，与后年的值作比较，看看是否会比当前的值更大的，如果有则覆盖，否则该值则为最终的最大子序列的和。

通过以上的分析，可以知道需要定义两个值，currentSum(当前最大子序列的和)，maxSum（最终数组的子序列和）。

通过以上分析，我们可以写下如下代码：

public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
        if (array.length==0 || array==null) {
            return 0;
        }
        int currentSum = Integer.MIN_VALUE;
        int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            //判断当前最大子序列和是否大于0，如果不大0，则继续累加无意义，直接设置为当前值
            if (currentSum <= 0) {
                currentSum = array[i]; 
            }else {
                //当array[i]为正数时，加上之前的最大值并更新最大值。
                currentSum += array[i]; 
            }
            // 最后需要不断的更新最后
            if (currentSum > maxSum) {
                maxSum = currentSum;
            }
        }
        return maxSum;
    }

2. 动态规划

通过上面的分析，可以知道，其实对于计算到每一个值，都可以得到一个当前子序列的和，关于该值怎么来的需要需要区分计算：
比如上面分析的前一个子序列的和是否大于0。

动态规划最基本是寻找当前的值和下一个值的关系，并且利用空间保存当前及历史的状态。

1. 利用一个数组保存以当前值结尾的子序列和。

int[ ] currentSum = new int [ ]

2. 寻找递推关系。

上述公式含义如下：
如果前一个值结尾的连续子序列和小于0，则以当前数作为连续子序列和；
如果前一个值结尾的连续子序列和大于0，则将前一个子序列和+当前值。

可以写下如下代码：

public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
    if(array == null && array.length <= 0){
        return 0;
    }

    int len = array.length;
    int[] result = new int[len];
    result[0] = array[0];
    // 利用for循环寻找以每个值结果的连续子序列的和
    for(int i = 1; i < len;i++){
        if(result[i-1] <= 0){
            result[i] = array[i];
        }else{
            result[i] = result[i - 1] + array[i];
        }
    }
    
    // 找出状态数组中的所有子序列的和最大值
    int max = Integer.MIN_VALUE;
    for(int i = 0; i < len; i++){
        if(result[i] >= max){
            max = result[i];
        }
    }
    return max;
}

上述代码是写的第一版的代码，利用一个数组将每个状态都存储起来，但是结合第一种方法，其实没有必要保存每一个，只需要保存当前最大的子序列和及最终最大子序列的和。

和第一版本的动态规划思想是一样的，但是合并了最开始存储每个数据，最终集中比较的过程。

public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
        if(array == null && array.length <= 0){
            return 0;
        }
        int currentSum = array[0];
        int maxSum = array[0];
        for(int i = 1; i < array.length;i++){
            currentSum = Math.max(array[i], array[i] + currentSum);
            maxSum = Math.max(currentSum,maxSum);
        }
        return maxSum;
    }

思考

1. 对于处理最大值之类的，可以从实例数据出发，从少量数据中抽象出规律。
2. 动态规划的思想主要两点、状态、递推公式。