伯努利数 + 自然数幂( Zoj2865 + 51Nod1228 + 51Nod1258 + 51Nod1822)

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本文详细介绍了伯努利数的概念及其计算方法，通过将(B-1)^k展开并设定B^k为伯努利数的第k项，当k大于等于2时，(B-1)^k等于B^k，由此计算出一系列伯努利数，并进一步利用这些数进行自然数幂的计算。

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伯努利数

定义：将(B-1)^k展开其中B^k作为伯努利数的第k项

当k >= 2时令(B - 1)^k = B^k

B0 = 1

然后我们计算前几项伯努利数

${ B }_{ 0 }\quad =\quad 1\\ \\ { B }_{ 1 }\\ { (B-1) }^{ 2 }\quad =\quad { B }^{ 2 }\\ \qquad -2{ B }_{ 1 }+1\quad =\quad 0\quad \quad { B }_{ 1 }\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \\ { B }_{ 2 }\\ { (B-1) }^{ 3 }\quad =\quad { B }^{ 3 }\\ \qquad { B }^{ 3 }+3{ B }^{ 2 }+3B-1\quad =\quad { B }^{ 3 }\qquad { B }_{ 2 }\quad =\quad \frac { 1-3{ B }_{ 1 } }{ 3 } \quad \quad \quad { B }_{ 2 }\quad =\quad \frac { 1 }{ 6 } \\ \\ { B }_{ 3 }\\ \\ ..\\ \\ { B }_{ n }$

然后我们通过伯努利数计算自然数幂

${ (x\quad +\quad B) }^{ k\quad +\quad 1 }\\ =\sum _{ i\quad =\quad 0 }^{ k\quad +\quad 1 }{ { C }_{ k\quad +\quad 1 }^{ i } } { B }^{ i }{ x }^{ k\quad +\quad 1\quad -\quad i }\\ =\quad { x }^{ k\quad +\quad 1 }\quad +\quad { C }_{ k+\quad 1 }^{ 1 }{ B }_{ 1 }{ x }^{ k }\quad +\quad \sum _{ i\quad =\quad 2 }^{ k\quad +\quad 1 }{ { C }_{ k\quad +\quad 1 }^{ i } } { B }^{ i }{ x }^{ k\quad +\quad 1\quad -\quad i }\\ =\quad { x }^{ k\quad +\quad 1 }\quad +\quad \frac { (k\quad +\quad 1){ x }^{ k } }{ 2 } \quad +\quad \sum _{ i\quad =\quad 2 }^{ k\quad +\quad 1 }{ { C }_{ k\quad +\quad 1 }^{ i } } { B }^{ i }{ x }^{ k\quad +\quad 1\quad -\quad i }\\$

${ (x\quad +\quad B\quad -\quad 1) }^{ k\quad +\quad 1 }\\ =\sum _{ i\quad =\quad 0 }^{ k\quad +\quad 1 }{ { C }_{ k\quad +\quad 1 }^{ i } } ({ B\quad -\quad 1) }^{ i }{ x }^{ k\quad +\quad 1\quad -\quad i }\\ =\quad { x }^{ k\quad +\quad 1 }\quad +\quad (k\quad +\quad 1)({ B }_{ 1 }\quad -\quad 1){ x }^{ k }\quad +\quad \sum _{ i\quad =\quad 2 }^{ k\quad +\quad 1 }{ { C }_{ k\quad +\quad 1 }^{ i } } { (B }\quad -\quad 1)^{ i }{ x }^{ k\quad +\quad 1\quad -\quad i }\\ =\quad { x }^{ k\quad +\quad 1 }\quad -\quad \frac { (k\quad +\quad 1){ x }^{ k } }{ 2 } \quad +\quad \sum _{ i\quad =\quad 2 }^{ k\quad +\quad 1 }{ { C }_{ k\quad +\quad 1 }^{ i } } { (B\quad -\quad 1) }^{ i }{ x }^{ k\quad +\quad 1\quad -\quad i }\\ ={ \quad x }^{ k\quad +\quad 1 }\quad -\quad \frac { (k\quad +\quad 1){ x }^{ k } }{ 2 } \quad +\quad \sum _{ i\quad =\quad 2 }^{ k\quad +\quad 1 }{ { C }_{ k\quad +\quad 1 }^{ i } } { B }^{ i }{ x }^{ k\quad +\quad 1\quad -\quad i }$

${ (x\quad +\quad B) }^{ k\quad +\quad 1 }\quad -\quad { (x\quad +\quad B\quad -\quad 1) }^{ k\quad +\quad 1 }\quad =\quad { (k\quad +\quad 1) }{ x }^{ k }\\ x\quad =\quad \{ 1,\quad 2,\quad 3,\quad 4,\quad ....,\quad n\} \\ { (1\quad +\quad B) }^{ k\quad +\quad 1 }\quad -\quad { (B) }^{ k\quad +\quad 1 }\quad =\quad { (k\quad +\quad 1)1 }^{ k }\\ { (2\quad +\quad B) }^{ k\quad +\quad 1 }\quad -\quad { (B\quad +\quad 1) }^{ k\quad +\quad 1 }\quad =\quad { (k\quad +\quad 1)2 }^{ k }\\ { (3\quad +\quad B) }^{ k\quad +\quad 1 }\quad -\quad { (B\quad +\quad 2) }^{ k\quad +\quad 1 }\quad =\quad { (k\quad +\quad 1)3 }^{ k }\\ ......\\ { (n\quad +\quad B) }^{ k\quad +\quad 1 }\quad -\quad { (B\quad +\quad n\quad -\quad 1) }^{ k\quad +\quad 1 }\quad =\quad { (k\quad +\quad 1)n }^{ k }\\$

${ (n\quad +\quad B) }^{ k\quad +\quad 1 }\quad -\quad { (B) }^{ k\quad +\quad 1 }\quad =\quad (k\quad +\quad 1)\sum _{ i\quad =\quad 1 }^{ n }{ { i }^{ k } } \\ \\ \sum _{ i\quad =\quad 1 }^{ n }{ { i }^{ k } } \quad =\quad \frac { { (n\quad +\quad B) }^{ k\quad +\quad 1 }\quad -\quad { B }^{ k\quad +\quad 1 } }{ (k\quad +\quad 1) } \\$