视觉SLAM十四讲(第二章作业)

本文深入探讨视觉SLAM中的矩阵运算,包括线性方程组的解法、QR和Cholesky分解原理,以及在C++11环境下实现相关算法。同时,介绍了旋转矩阵和四元数的性质,结合几何运算练习,解析点在不同坐标系下的转换。还涉及了罗德里格斯公式及其证明,帮助理解四元数在旋转表示中的应用。

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熟悉Eigen矩阵运算

设线性⽅程 Ax = b,在 A 为⽅阵的前提下,请回答以下问题
1、在什么条件下, x 有解且唯⼀?
答:A是方阵,且可逆。
2、⾼斯消元法的原理是什么?
答:高斯消元法简介
3、QR分解的原理
答:QR分解介绍 注意:这里被分解矩阵A不一定是方阵,也可以是非方阵。Q为正交矩阵,R为上三角矩阵。
4、 Cholesky 分解的原理是什么?
答:Cholesky 注意:这里被分解的矩阵A必须是对称正定阵,L为下三角矩阵。
5、编程实现 A 为 100 × 100 随机矩阵时,⽤ QR 和 Cholesky 分解求 x 的程序。你可以参考本次课⽤到的 useEigen 例程。
答:不多说,直接上代码吧。注意:Cholesky分解的前提条件是A是对称正定阵。

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Dense>
#include <Eigen/QR>
#include <Eigen/Cholesky>
#define MATRIX_SIZE 2
using namespace std;
int main() {
    Eigen::Matrix<double,Eigen::Dynamic,Ei
### 关于《视觉SLAM十四》第四章课后题五的解答与解析 #### 问题描述 在《视觉SLAM十四》第四章中,课后题五通常涉及对三维重建过程中某些特定算法的理解和应用。这类题目旨在考察读者对于多视图几何、特征匹配以及基础矩阵计算等方面的知识掌握情况。 #### 解析过程 为了完成此类题目,需要理解如何通过两幅或多幅不同视角下的图像来恢复场景结构及其摄像机姿态。这涉及到几个核心概念和技术: - **特征提取与匹配**:从给定图片中检测并描述局部不变特征点(如角点),然后基于这些特征实现跨图像间的对应关系建立[^1]。 - **本质矩阵(Essential Matrix)** 和 **基础矩阵(Fundamental Matrix)** 的估计:一旦获得了可靠的特征匹配对,则可以通过八点法或其他方法求解表示两个相机相对位置的姿态参数——即本质矩阵;而当不知道内参时则转而估算更一般的基础矩阵[^2]。 - **三角化(Triangulation)** :利用已知的内外参数信息,结合对应的二维投影坐标,反向推算出世界坐标的三维点位[^3]。 针对本道练习的具体要求,假设其关注的是从两张校准过的立体像对构建稀疏地图模型的过程,那么解决方案可能如下所示: ```cpp // 假设已经完成了必要的预处理工作,比如读取图像、执行FAST/SIFT/ORBSURF等特征检测器获取关键点集合kp1,kp2, // 并进行了FLANN/KDTree之类的快速近似最近邻搜索得到初步配对matches; std::vector<cv::Point2f> pts1,pts2; for(DMatch& match : matches){ // 将匹配好的索引转换为实际像素坐标 pts1.push_back(kps1[match.queryIdx].pt); pts2.push_back(kps2[match.trainIdx].pt); } cv::Mat F = findFundamentalMat(pts1,pts2,cv::FM_RANSAC); // 计算基础矩阵 if (F.empty()) { std::cerr << "Failed to compute Fundamental matrix." << std::endl; } else { cv::Mat E = K.t() * F * K; // 转换为基础矩阵到本质矩阵形式,其中K代表相机内部参数阵 } ``` 上述代码片段展示了如何依据OpenCV库函数`findFundamentalMat()` 来获得基础矩阵,并进一步调整为本质矩阵的形式以便后续操作。需要注意的是,在真实环境中还需考虑噪声影响等因素做额外优化处理。
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