复杂度分析（上）：时间、空间复杂度分析

复杂度分析（上）：时间、空间复杂度分析

《数据结构与算法之美》学习笔记

一、什么是复杂度分析

1. 复杂度分析是代码运行得更快，更省存储空间的考量指标。
2. 复杂度分析分别从时间和空间两个维度来描述性能问题。

二、为什么需要复杂度分析

1. 性能测试（事后统计法）的局限性。
   • 测试结果非常依赖测试环境
   • 测试结果受数据规模的影响很大
2. 复杂度分析可以不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率。

三、大O复杂度表示法

算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码的执行时间。

现在评估一下这段代码的执行时间。

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

假设CPU执行每行代码的时间都一样，为unit_time。第2、3行代码分别需要1个unit_time执行时间，第4、5行都运行了n遍，所以需要2n*unit_time的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是(2n+2) * unit_time。可以看出所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数f(n)成正比。

可以把这个规律总结成一个公式：

T(n) = O(f(n))

T(n) 表示代码的执行时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行次数的总和；O表示执行时间T(n)与f(n)成正比。

大O时间复杂度表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

当n很大时，公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级，如果用大O表示法，上面代码的时间复杂度可以记为T(n)=O(n)。

四、时间复杂度分析

时间复杂度分析比较实用的三种方法

• 只关注循环执行次数最多的一段代码

  上面实例代码，执行次数最多的是第4、5行，这两行被执行了n次，所以总的时间复杂度就是O(n)。

• 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

  看如下代码

  int cal(int n) {
     int sum_1 = 0;
     int p = 1;
     for (; p < 100; ++p) {
       sum_1 = sum_1 + p;
     }
  
     int sum_2 = 0;
     int q = 1;
     for (; q < n; ++q) {
       sum_2 = sum_2 + q;
     }
   
     int sum_3 = 0;
     int i = 1;
     int j = 1;
     for (; i <= n; ++i) {
       j = 1; 
       for (; j <= n; ++j) {
         sum_3 = sum_3 +  i * j;
       }
     }
   
     return sum_1 + sum_2 + sum_3;
   }
  

  sum_1执行100次，sum_2执行n次，sum_3执行 n^{2，所以整段代码的时间复杂度就是O(n}2)。

• 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

  看如下代码

  int cal(int n) {
     int ret = 0; 
     int i = 1;
     for (; i < n; ++i) {
       ret = ret + f(i);
     } 
   } 
   
   int f(int n) {
    int sum = 0;
    int i = 1;
    for (; i < n; ++i) {
      sum = sum + i;
    } 
    return sum;
   }
  

  第4~6行的时间复杂度T1(n)=O(n)，f(n)的时间复杂度T2(n)=O(n)，所以，整个call()函数的时间复杂度T(n)=T1(n) * T2(n)=O(n*n)=O(n^2)。

五、几种常见的时间复杂度实例分析

复杂度量级

1. O(1)

   代码的执行时间不随n的增大而增长。

    int i = 8;
    int j = 6;
    int sum = i + j;
   

2. O(logn)、O(nlogn)

   看如下代码

    i=1;
    while (i <= n)  {
      i = i * 2;
    }
   

   第三行是循环次数最多的，每循环一次就乘以2。通过2^x=n，x就是这行代码的执行次数，x=log2n，这段代码的时间复杂度就是O(log2n)。在对数阶时间复杂度的表示方法里，可以忽略对数的底数，统一表示为O(logn)。

   如果一段代码的时间复杂度是O(logn)，循环执行n遍，根据刚才的乘法法则，时间复杂度就是O(nlogn)。常见的算法，比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是O(nlogn)。

3. O(m+n)、O(m*n)

   先看代码

   int cal(int m, int n) {
     int sum_1 = 0;
     int i = 1;
     for (; i < m; ++i) {
       sum_1 = sum_1 + i;
     }
   
     int sum_2 = 0;
     int j = 1;
     for (; j < n; ++j) {
       sum_2 = sum_2 + j;
     }
   
     return sum_1 + sum_2;
   }
   

   因为无法事先评估m和n谁的量级大，所以在表示复杂度的时候，不能简单的利用加法法则，省略掉其中一个。所以上面代码的时间复杂度就是O(m+n)。

六、空间复杂度

类似于时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

看以下代码

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

第三行申请了一个大小为n的数组，除此之外没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是O(n)。

常见的空间复杂度就是O(1)、O(n)、O(n^2)，像O(logn)、O(nlogn)这样的对数阶复杂度平时都用不到。