RSA算法原理（二）

原文：http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html

上一次，我介绍了一些数论知识。
有了这些知识，我们就可以看懂RSA算法，这是目前地球上最重要的加密算法。

六、密钥生成的步骤

我们通过一个例子，来理解RSA算法。
假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？

第一步，随机选择两个不相等的质数p和q
爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解）

第二步，计算p和q的乘积n
爱丽丝就把61和53相乘：
n = 61×53 = 3233
n的长度就是密钥长度，3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。

第三步，计算n的欧拉函数φ(n)
根据公式：
$\phi(n) = (p-1)(q-1)$
爱丽丝算出φ(3233)等于60×52，即3120。

第四步，随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质
爱丽丝就在1到3120之间，随机选择了17（实际应用中，常常选择65537）

第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d
所谓”模反元素”就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
$ed = 1\pmod{\phi(n)}$

这个式子等价于:
$ed - 1 = k\phi(n)$

于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。
$ex + \phi(n)y = 1$

已知 e=17, φ(n)=3120
$17x + 3120y = 1$

这个方程可以用”扩展欧几里得算法”求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753，至此所有计算完成。

第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥
在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，
所以公钥就是(3233,17)，私钥就是（3233, 2753）。
实际应用中，公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达（实例）。

七、RSA算法的可靠性

回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：

• p
• q
• n
• φ(n)
• e
• d

这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。

那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？
（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。
结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。

　　可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：
　　“对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
　　假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
　　只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。”

举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

　　12301866845301177551304949
　　58384962720772853569595334
　　79219732245215172640050726
　　36575187452021997864693899
　　56474942774063845925192557
　　32630345373154826850791702
　　61221429134616704292143116
　　02221240479274737794080665
　　351419597459856902143413

它等于这样两个质数的乘积：
　　33478071698956898786044169
　　84821269081770479498371376
　　85689124313889828837938780
　　02287614711652531743087737
　　814467999489
　　　　×
　　36746043666799590428244633
　　79962795263227915816434308
　　76426760322838157396665112
　　79233373417143396810270092
　　798736308917
　　

八、加密和解密

有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。

（1）加密要用公钥 (n,e)
假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。
所谓”加密”，就是算出下式的c：
$m^e \equiv c\pmod{n}$
爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式：
$65^17 \equiv 2790 \pmod{3233}$
于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。

（2）解密要用私钥(n,d)
爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：
$c^d \equiv m \pmod{n}$

也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是(3233, 2753)，那么，爱丽丝算出
$2790^{2753} \equiv 65 \pmod{3233}$

因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。
至此，”加密–解密”的整个过程全部完成。
我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。
你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种”对称性加密算法”（比如DES），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。

九、私钥解密的证明

最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：
$c^d \equiv m \pmod{n}$

因为，根据加密规则：
$m^e \equiv c \pmod{n}$

于是，c可以写成下面的形式：
$c = m^e -k^n$

将c代入要我们要证明的那个解密规则：
$(m^e - k^n) \equiv m \pmod{n}$

它等同于求证：
$m^{ed} \equiv m \pmod{n}$

由于：
$ed \equiv 1 \pmod{\phi(n)}$

所以：
$ed = h\phi(n) + 1$

将ed代入：
$m^{h\phi(n)+1}\equiv m \pmod{n}$
接下来，分成两种情况证明上面这个式子。
（1）m与n互质
根据欧拉定理，此时
$m^{\phi(n)} \equiv 1\pmod{n}$
得到
$(m^{\phi(n)})^h\times m \equiv m \pmod{n}$
原式得到证明。

（2）m与n不是互质关系
此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。
以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：
$(kp)^{q-1}\equiv 1 \pmod{q}$

进一步得到：
$[(kp)^{q-1}]^{h(p-1)}\times kp \equiv kp \pmod{q}$

即：
$(kp)^{ed} \equiv kp \pmod{q}$

将它改写成下面的等式：
$(kp)^{ed} = eq + kp$

这时t必然能被p整除，即 t=t’p
$(kp)^{ed} = t'pq + kp$

因为 m=kp，n=pq，所以:
$m^{ed} \equiv m \pmod{n}$

原式得到证明
（完）