计算机数值方法第三章第三版,计算机数值方法第3章.ppt

计算机数值方法第3章.ppt

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9.90 积分

* 定义：设f(x)为一元连续函数，称方程f(x)=0为函数方程。特别地，当f(x)不是 x 的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。 在非线性方程中，当f(x)为多项式函数时，称为代数方程，其一般形式如下： 此即为n次代数方程。若存在一点x*，使f(x*)=0，则x*称为方程f(x)=0的根。* 当f(x)不是多项式函数时，如f(x)=ex-sinx，则f(x)=0称为超越方程。 在非线性方程中，绝大部分没有求根公式，就必须借助于数值计算方法—逐次逼近法来完成。对分法及区间迭代法 利用连续函数f(x)的零点定理，将f(x)=0的含根区间逐次减半缩小，构造出收敛的点列{xk}，来逐步逼近f(x)=0的根x*的数值计算方法称为对分法。* 零点定理指出： 若f(x)[a , b]，且满足f(a)f(b)<0，则在区间[a , b]上至少有一点，使f()=0。 a x0 x* x1 b 将含根区间对分为两个子区间后，在其上又可利用零点定理确定根在哪个子区间上。如此继续下去就得到各子区间的中点构成点列{xk}中，它将收敛于f(x)=0的根x*处。* [例2.1] 用对分法求下面方程在区间[1，2]内的根，要求绝对误差不超过10-3。 解 因为f(1)= -5，f(2)=14，所以在区间[1 , 2]内有根，故可以使用对分法。 c=(1+2)/2=1.5，f(c)＝2.375，含根区间为 [a1 , b1]= [1 , 1.5] c1=(1+1.5)/2=1.25，f(c1)＝-1.79687，含根区间为 [a2 , b2]= [1.25 , 1.5]，………… c9=(1.36128125+1.365234375)/2=1.364257813，* f(c9)= -0.01605，含根区间为 [a10 , b10]=[ 1.364257813 , 1.365234375] 因误差 故可停止计算，得准确根x*的近似值为 c9=1.365234375。* 1、二分法的收敛性 二分法又称区间迭代法。在求根区间[a , b]上，只要满足f(a)f(b)<0，则此种迭代是收敛的。 2、如何控制迭代(一般而言)？ (1)给定精度控制量EPS，如二分法以长度 |ak-bk|0，可知f(x)=0在[0，2]上有唯一的根，按牛顿迭代法构造迭代式：* 取初值x0=2时显然有f(x0)f”(x0)>0，故牛顿迭代收敛。 [例] 用牛顿迭代法求 解： 令 则方程f(x)=x2-3=0的根即为所求，取含根区间[1 , 2]时有所以方程有唯一的根。构造牛顿迭代格式： 取初值x0=2，显然有故迭代数列收敛于函数方程的根。* 牛顿迭代法为平方收敛(收敛阶为2)。 证明： 由f(x)在xk处的泰勒展开式 将x=x*代入上式，并由f(x*)=0可得：故有：因而：所以由收敛阶的定义可知，牛顿迭代法具有2阶收敛。* 弦截法又称割线法。如下图所示，函数方程f(x)=0有根为，为求出：弦截法y=f(x)x1x0x2x3x4*(1)过点(x0,y0)和点(x1,y1)作曲线y=f(x)的割线，该割线与x轴交于x2；该割线的点斜式方程为令y=0，得该割线与x轴的交点x2 :(2)过点(x0,y0)和(x2,y2)再作割线则与x轴交于x3，可得：如此继续下去，即构成了迭代格式：*每次所作割线与x轴的交点将逐步逼近所求根。此种弦割法称为单点弦割法。 双点弦截法：如下图所示，过点(x0,y0)和点(x1,y1)作曲线y=f(x)的割线，该割线与x轴交于x2；过点(x1,y1)和(x2,y2)再作割线则与x轴交于x3，……。oy=f(x)xyx1x0x2x3x4双点弦截法迭代格式为：*一)数据说明： (1)精度控制量EPS，最大迭代次数MAXREPT； (2)迭代初值x0，x1； (3)x_k0、x_k1、x_k2，用于进行迭代计算； (4)自定义函数f(x)二)操作说明： step1 输入迭代初值x0和x1； step2 x_k0=x0 ; x_k1=x1 ; x_k2 ; k=0 ; p=1.0; step3 While p>EPS And k<=MAXREPT Do step4 x_k2=x_k1-f(x_k1)*(x_k1-x_k0)/(f(x_k1)-f(x_k0)); step5 p= fabs(x_k2-x_k1); step6 x_k0=x_k1 ; x_k1=x_k2; step7 k=k+1; step8 输出x_k2即为所求根。*一、问题描述 以二阶非线性方程组为例：非线性方程组求解 其中至少有一个方程为非线性方程，求其根，即一组数据(x* , y*)二、基本思想(牛顿迭代法) 将非线性方程组作向量化处理，即： 令，则原方程组为 所求根即：，使* 如此则可用迭代法求根，即用u0,u1,……,uk,uk+1序列逐次逼近根u*。三、构造方法 将f1(x , y),f2(x , y)在(xk , yk)处作泰勒展开，并取其线性部分，得到方程组： 令，则有* 将u=uk+1代入上式得牛顿迭代格式：，即 令，得 上式左右两边同乘，得 从初值u0开始，逐次计算，及，直到* 取初值四、实例 求解非线性方程组： 解：* 由 按此种方法继续做下去，直到…… 关 键 词： 数值 方法 计算机

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