机器学习--损失函数常用的凸优化算法

最新推荐文章于 2023-10-19 22:22:27 发布

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#机器学习 #python #随机梯度下降 #拉格朗日乘子法 #kkt条件

本文详细介绍了无约束和有约束条件下机器学习损失函数的凸优化算法，包括牛顿法、梯度下降法、坐标轴下降法以及拉格朗日乘子法和KKT条件。针对梯度下降法，探讨了学习率、初始值选择和不同类型的梯度下降法，如批量、随机和小批量。同时，对比了坐标轴下降法与梯度下降法的联系与区别。对于有约束条件，重点讲解了拉格朗日乘子法及其在实际问题中的应用。

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目录

一无约束条件下损失函数的凸优化算法

1 牛顿法（不推荐使用）

1）函数为可微凸函数，已知某点的函数值，求解该点的的方法

2）算法流程

2 梯度下降法

1）算法流程

2）算法的调优策略

3）算法不同类型（假定m个样本）

3 坐标轴下降法

1）算法流程

2）坐标轴下降法与梯度下降法的联系与区别

二有约束条件下（等式约束与不等式约束）损失函数的凸优化算法

1 拉格朗日乘子法

1）算法步骤

2 泛拉格朗日乘子法（KKT条件）

2）泛拉格朗日乘子法

一无约束条件下损失函数的凸优化算法

1 牛顿法（不推荐使用）

1）函数为可微凸函数，已知某点的函数值 $y$ ，求解该点的 $x$ 的方法

$\left\{\begin{matrix} y_{1}=f(x_{1}),{y}'_{1}\neq 0 \\ x_{1}=?\end{matrix}\right.$

2）算法流程

第一步：令 $x=x_{0}$

$x=x_{0}\Rightarrow\left\{\begin{matrix} y=y_{0}=f(x_{0})\\ {y}'_{0}={f}'(x_{0}) \neq 0\end{matrix}\right.$

第二步：计算 $\Delta y$

$\Delta y=y_{1}-y_{0}$

第三步：计算 $\Delta x$

$\Delta x=\frac{\Delta y}{{y}'_{0}}$

第四步：更新 $x_{0}$

$x_{0}=x_{0}+\Delta x$

第五步：重复上述步骤（迭代），直至 $\Delta x\rightarrow 0$

2 梯度下降法

1）算法流程

第一步：假定函数 $y=f(\theta )$ ， $\theta$ 为n元自变量

第二步：初始化 $\theta$

第三步：计算负梯度 $\bigtriangledown f(\theta )$

第四步：更新 $\theta$

$\theta=\theta -\alpha \bigtriangledown f(\theta )$

第五步：重复三、四步骤（迭代），直至 $f(x,\theta )\overset{\theta }{\rightarrow} minf(x,\theta )$

注意：

$\alpha$ 是学习率：控制迭代步长大小

2）算法的调优策略

第一点：学习率 $\alpha$ （常见设置0.01，0.1~0.5）

$\alpha$ 过大，导致步长大，容易跳过最优解（梯度下降过程中步长忽大忽小）

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